最大流-Dinic算法，原理详解，四大优化，详细代码

零、前言

关于网络流、最大流基本概念见：最大流—EK算法，流网络，残留网络，定理证明，详细代码-CSDN博客

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一、概念回顾(可略过)

已经在最大流—EK算法，流网络，残留网络，定理证明，详细代码-CSDN博客中介绍过

1.1流网络

流网络G = (V , E)是一个有向图，其中每条边(u , v)∈E均有一非负容量c(u , v) ≥ 0。如果(u , v) ∉ E，则c(u , v) = 0。

流网络中有两个特别的点：源点s和汇点t。如例中的工厂和仓库。

1.2流

设f(x , y)是定义在节点二元组(x∈V , y∈V)上的实数函数，且满足：

1. $$容量限制:f(x,y)\le c(x,y)$$

2. $$反对称性:f(x,y)=-f(y,x)$$

3. $$流守恒性:\forall x\ne s,x\ne t,\sum _{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum _{(x,v)\in E}f(x,v)$$

f(x,y)称为流网络的流函数 , 对于(x , y)∈E , f(x , y)称为边的流量 , c(x , y) - f(x , y)称为边的剩余流量.

流 f 值的定义为
$$\left|f\right|=\sum _{v\in V}f(s,v)$$
亦即 , 从源点s发出的总流。如例中每天从工厂发出的冰球的箱数。

1.3最大流

对于一个给定的流网络 , 合法的流函数 f 有很多. 使得流的值最大的流函数被称为网络的最大流 , 此时的流的值被称为网络的最大流量.

1.4残留网络

假定有一个流网络G = (V , E)，其源点为s，汇点为t。设f为G中的一个流，一对顶点u, v∈V。在不超过容量c(u，v)的条件下，从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是**(u，v) 的残留容量(residual capacity)**，由下式定义:
$$c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$$

给定一流网络G = (V , E)和流f，由f压得的G的残留网络是Gf = (V , Ef)，其中：
$$E_f=\{(u,v)\in V\times V:c_f(u,v)>0\}$$
即，残留网络包含了流网络的所有点，和残留容量大于0的有向边。

注意Ef中的边既可以是E中的有向边也可以是其反向边，若(u , v)∈E，有f(u , v) < c(u , v)，那么根据流网络的性质可知f(v , u) = -f(u,v)，那么对应残留容量就是c(v , u) - (-f(u,v)) = c(v , u) + f(u , v) > 0，则其反向边也在残留网络中。

由残留网络可以得出引理：

f 为G中的一个流，f‘为Gf中的一个流，那么f + f’仍为流网络G的一个流，其流量为| f + f’ | = | f | + | f‘ |

具体证明可以自己尝试或见《算法导论》

1.5增广路径

已知流网络G = (V , E)和流f，增广路径p为残留网络Gf中由源点s到汇点t的一条简单路径。

根据残留网络的定义，增广路径上的每条边的剩余容量都大于0，则该路径上的每条边都可以额外容纳一定的流量，这也和我们后续求最大流密切相关。

不难想出，增广路径可以增加的最大流量为该路径上边的最小残留容量。

1.6流网络的割

流网络G = (V , E)的割(S , T)将V划分为S和T两部分，使得s∈S，t属于T，通过割的流量为S和T之间边上流量的代数和，但是割的容量仅包含从S到T的边的容量的代数和。

如下图，割(S,T)的流量f(S,T) = 12 - 4 + 11 = 19

容量c(S,T) = 12 + 14 = 26

我们称容量最小的割为最小割。

可以证明f(S , T) = | f | ≤ c(S, T)（证明见《算法导论》）

1.7最大流最小割定理

如果 f是具有源点s和汇点t的流网络G = (V , E)中的一个流，那么下列条件是等价的：

1. f是G的一个最大流
2. 残留网络Gf不包含增广路
3. 存在G的某个割(S , T)，有| f | = c(S , T)

1.7.1证明

采用循环证明法，(1) => (2) , (2) => (3) , (3) => (1)

(1) => (2):

很容易证明，采用反证法即可

假设Gf含增广路，那么我们可以在Gf中构造一流f’，| f‘ | = min(cf(u,v) , (u , v) ∈ Ef)，那么f + f’仍为流网络的一个流（由1.4中介绍的引理可知），那么|f + f‘| > | f |，那么f就不是最大流，矛盾，则(1) => (2)成立

(2) => (1):

我们只需要在(2)的条件下构造出一个满足(3)的割即可。

选取集合S = {v ∈ V：Gf中从s到v存在一条通路}，T = V - S，划分(S , T)为一个割。

对所有，u∈S，v∈T，f(u , v) = c(u , v)，否则v就属于S。

由此推出| f | = f(S , T) = c(S , T)

(3) => (1):

也很容易证明，由于由于| f | ≤ c(S, T)，而此时| f | = c(S , T)，故不存在比f更大的流，故f为最大流。

1.8Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法是最大流的经典求解方法，之所以称之为”方法“而非”算法“，是由于它包含具有不同运行时间的几种实现。

Ford-Fulkerson方法依赖于三种重要思想：残留网络(residual network)、增广路(augmenting path)和割(cut)。这些思想是最大流最小割定理的精髓，这里给出Ford-Fulkerson方法的特定实现。

伪代码如下：

Ford-Fulkerson(G , s , t)
初始化流f = 0
while 流网络中存在增广路p
	do 沿着p增加f
return f

二、Dinic算法

2.1EK算法的可优化之处

Dinic算法其实就是对于EK算法的优化。

无论是Dinic算法还是EK算法它们都是基于FF方法来求最大流，我们回看EK算法的实现原理：

• bfs找到一条增广路
• 更新增广路上边的剩余容量
• 找不到增广路，算法结束，时间复杂度O(n^2 m)

很明显，EK算法有个问题就是每次只找一条增广路然后进行更新，然后再从源点开始找增广路，我们有如下疑问：

• 我们能否一次更新多条增广路的剩余容量呢？
• 对于网络中的多条增广路，我们如何尽可能快的找到增广路呢？

2.2Dinic算法的优化策略

1. 搜索顺序优化：根据每个点到源点距离，建立分层图，bfs一层一层地去增广，对于不在当前bfs层的下一层的点不进行进一步搜索，避免往回来回走，降低效率
2. 当前弧优化：dfs更新多条增广路容量时，对于每个顶点发出的边，其所在增广路已经更新过的边进行剪枝
3. 剩余容量优化：很容易理解，能够增加的流量用完了，就剪枝
4. 残枝优化：如果该点不在增广路上就剪枝

1是在bfs中的优化，比较直观，2、3、4是在dfs更新容量中的优化，可以结合后续代码理解

2.3Dinic算法原理

2.3.1找增广路

仍然是bfs往下搜索，直到遇到汇点t，只不过我们枚举每个点u时，将其未访问过的邻接点v的深度d[v]设置为d[u] + 1，即一层一层往下找，后面更新也是一层一层往下更新回溯

2.3.2更新剩余容量

EK算法更新剩余容量的策略是记录增广路上节点的前驱节点，从汇点往前一个一个更新

我们Dinic算法更为高效，对一个点发出去的多条增广路上的点都进行更新，对于要更新的点给其一个容量限制limit，即最多能增加的流量，对于每个邻接点v对其深搜，给v的limit为min(limit , w(u,v))，然后获取深搜v得到的v发出的所有增广路能够增加的流量和incf，对边(u,v)的剩余容量进行更新，当然limit也要相应减少

可见dinic是通过深搜加回溯完成了多条增广路的剩余容量更新。

2.4算法流程

• dinic算法不断重复以下步骤，直到在残留网络中无法到达t
  • bfs建立分层图的同时找增广路
  • dfs从源点开始遍历增广路，回溯时更新剩余容量，初始给源点s的可增加流量上限limit为inf（无穷大）
• 时间复杂度O(nm^2)，实际中远达不到这个上界，可以解决1e4量级的数据

2.5代码实现

#define int long long
#define N 205
#define M 5005
const int MOD = 10000007;
const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, m, s, t, idx;
int d[N], cur[N], head[N]; // 深度，当前边，前向星头

struct edge
{
    int v, c, nxt;
} edges[M << 1];

inline void addedge(int u, int v, int c)
{
    edges[idx] = {v, c, head[u]};
    head[u] = idx++;
}

bool bfs() // 多路增广，分层搜索优化
{
    memset(d, 0, sizeof(d));
    queue q;
    q.emplace(s), d[s] = 1;
    while (q.size())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt)
        {
            int v = edges[i].v;
            if (!d[v] && edges[i].c)
            {
                d[v] = d[u] + 1;
                q.emplace(v);
                if (v == t)
                    return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int dfs(int u, int limit)
{
    if (u == t)
        return limit;
    int ret = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && limit > 0 ; i = edges[i].nxt)//limit > 0 余量优化
    {
        cur[u] = i;// 当前弧优化
        int v = edges[i].v;
        if (d[v] == d[u] + 1 && edges[i].c)
        {
            int incf = dfs(v, min(limit, edges[i].c));
            if (!incf)
                d[v] = 0; //剪枝优化
            edges[i].c -= incf, edges[i ^ 1].c += incf, ret += incf, limit -= incf;
        }
    }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int ret = 0;
    while (bfs())
        memcpy(cur, head, sizeof(head)), ret += dfs(s, inf);

    return ret;
}

2.6OJ模板练习

P3376 【模板】网络最大流 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

直接跑板子即可，这道题数据量过小，EK算法也能过

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include