【线性代数与矩阵论】矩阵的谱半径与条件数

矩阵的谱半径与条件数

2023年11月18日

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1. 矩阵的谱半径

定义 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是A的特征值，则称
$$\rho (A)=\underset{1\le i\le n}{\max }|{\lambda }_i|$$
为矩阵 $A$ 的谱半径。矩阵的谱指的是一个矩阵的特征值的集合。

定理 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，则

1. $\rho (A^{\mathrm{H}})=\rho (A^{\mathrm{T}})=\rho (A)$
2. $\rho (A^k)=[\rho (A){]}^k$
3. 当 $A$ 是正规矩阵时，$\rho (A)=||A|{|}_2$

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2. 谱半径与范数的关系

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 是 $A$ 属于 $\lambda$ 的特征向量，则
$$Ax=\lambda x$$
对 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中任一矩阵范数 $||\cdot |{|}_m$ 以及与它相容的向量范数 $||\cdot |{|}_v$ ，有
$$|\lambda |\cdot ||x|{|}_v=||\lambda x|{|}_v=||Ax|{|}_v\le ||A|{|}_{}\cdot ||x|{|}_v$$
从而
$$|\lambda |\le ||A|{|}_{}$$
于是有如下定理。

定理 $\rho (A)\le ||A|{|}_{}$ ，其中 $||A|{|}_{}$ 是 $A$ 的任一矩阵范数。
定理 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，则任意 $ϵ>0$ ，必存在 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上矩阵范数 $||\cdot |{|}_m$ ，使得
$$||A|{|}_m\le \rho (A)+ϵ$$
也就是虽然矩阵范数可能大于谱近谱半径的矩阵半径，却又总是存在无限接范数。数值分析中，谱半径可以认为是算子范数。

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3. 矩阵的条件数

引理 设 $P\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，若对 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的某一矩阵范数 $||\cdot |{|}_{}$ 有 $||P|{|}_{}<1$ ，则 $I-P$ 可逆。
定理 设 $A\in {\mathbb{C}}_n^{n\times n}$ 可逆，$\delta A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 。若对 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的某一矩阵范数 $||\cdot |{|}_{}$ 有 $||A^{-1}\delta A|{|}_{}<1$ ，则

1. $A+\delta A$ 可逆
2. $||(A+\delta A{)}^{-1}|{|}_{}\le \frac{||A^{-1}|{|}_{}}{1-||A^{-1}\delta A|{|}_{}}$
3. $\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}|{|}_{}}{||A^{-1}|{|}_{}}\le \frac{||A^{-1}\delta A|{|}_{}}{1-||A^{-1}\delta A|{|}_{}}$ 矩阵扰动后逆矩阵的相对误差小于右端式子

定义 设 $A\in {\mathbb{C}}_n^{n\times n}$ 可逆，$||\cdot |{|}_{}$ 是 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的某一矩阵范数，称
$$\text{cond}(A)=||A|{|}_{}\cdot ||A^{-1}|{|}_{}$$
为矩阵 $A$ 的条件数。

推论 设 $A\in {\mathbb{C}}_n^{n\times n}$ 可逆，$\delta A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 。若对 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的某一矩阵范数 $||\cdot |{|}_{}$ 有 $||A^{-1}||\cdot ||\delta A|{|}_{}<1$ ，则
$$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}|{|}_{}}{||A^{-1}|{|}_{}}\le \frac{||A|{|}_{}||A^{-1}|{|}_{}\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}}{1-||A|{|}_{}||A^{-1}|{|}_{}\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}}=\frac{\text{cond}(A)\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}}{1-\text{cond}(A)\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}}$$

定理 设 $A\in {\mathbb{C}}_n^{n\times n}$ 可逆，$\delta A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$， $b$ ，$\delta b\in {\mathbb{C}}^n$ 。若对 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的某一矩阵范数 $||\cdot |{|}_{}$ 有 $||A^{-1}||\cdot ||\delta A|{|}_{}<1$ ，则非齐次线性方程组
$$Ax=b与(A+\delta A)(x+\delta x)=b+\delta b$$
的解满足
$$\frac{||\delta x|{|}_v}{||x|{|}_v}\le \frac{\text{cond}(A)}{1-\text{cond}(A)\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}}(\frac{||\delta A|{|}_{}}{||A|{|}_{}}+\frac{||\delta b|{|}_v}{||b|{|}_v})$$
其中 $||\cdot |{|}_v$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 上与矩阵范数 $||\cdot |{|}_{}$ 相容的向量范数。
根据函数
$$f(x)=\frac{x}{1-x}$$
的图像，当 $\text{cond}(A)$ 很大，则说求逆或求解线性方程组是病态的。

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下链

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