【算法与数据结构】1049、LeetCode 最后一块石头的重量 II

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一、题目

二、解法

  思路分析：本题需要得到石头之间两两粉碎之后的最小值，那么一个简单的思路就是将这堆石头划分成大小相近的两小堆石头，然后粉碎，这样得到的结果必然是最优值。那么如何划分呢？我们可以将所有石头的质量求和，假设和为$sum$，以$sum/2$为界限。一堆石头质量设为$w_1$，有$w_1\le sum/2$；而另外一堆石头质量$w_2$，有$w_2\ge sum/2$，且$w_1+w_2=sum$。因为要求两堆石头粉碎之后的质量$\Delta$最小，所以划分出来的两堆石头重量越接近越好，等同于$w_1$和$w_2$越接近于$sum/2$。所以我们可以将$min(\Delta =w_2-w_1)$问题，转化为$max(w_1),s.t.w_1\le sum/2$，即在这个数组中找到和最接近sum/2的子集。这是一个01背包问题。最终的最小质量${\Delta }_{min}=w_2-w_1=sum-2\ast w_1$。
  程序如下：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        vector<int> dp(vector<int>(sum/2 + 1, 0));
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {			// 遍历物品
            for (int j = sum/2; j >= stones[i]; j--) {			// 遍历背包容量
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum -2 * dp[sum/2];
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

三、完整代码

# include 
# include 
# include 
# include 
using namespace std;

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        vector<int> dp(vector<int>(sum/2 + 1, 0));
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {			// 遍历物品
            for (int j = sum/2; j >= stones[i]; j--) {			// 遍历背包容量
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum -2 * dp[sum/2];
    }
};

int main() {
    Solution s1;
    vector<int> stones = { 2,7,4,1,8,1 };
    int result = s1.lastStoneWeightII(stones);
    cout << result << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

end