斐波那契数列(C/C++)

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背景介绍

解法1:非数组+非递归

解法2:数组+非递归

解法3:非数组+递归

解法4:数组+递归


背景介绍

斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)

斐波那契数列(Fibonacci Sequence)又称黄金分割数列。

  该数列指的是这样的一列数字:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368…

  特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。此数列从第2项开始,每一项都等于前两项之和。

  在数学上,斐波纳契数列被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)。

  在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有着直接的应用。美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载斐波那契数列此方面的研究成果。

斐波那契数列(C/C++)_第1张图片

斐波那契数列

  •   斐波那契数列的发明者,意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci),生于公元1170年,卒于1250年,籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。

      列昂那多·斐波那契于1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列。设一对大兔子每月生一对小兔子,每对新生兔在出生一个月后又下崽,假若兔子都不死亡。问:一对兔子一年能繁殖成多少对兔子?

      题中本质上有两类兔子:一类是能生殖的兔子,为大兔子;新生的兔子不能生殖,为小兔子;小兔子一个月就长成大兔子,求的是大兔子与小兔子的总和?

  •   十二月时有大兔子144对,小兔子89对,共有兔子144+89=233对

    从上表看出:

      ①每月小兔对数=上月大兔对数

      ②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之

    综合①②两点可得:每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和  如果用un表示第n月的大兔对数,则有un=un-1+un-2(n > 2)

      每月大兔对数un排成数列为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

      那么此组数列就称为斐波那契数列

    斐波那契数列(C/C++)_第2张图片

    END

斐波那契数列通项公式

  • 递推公式:

      斐波那契数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

    如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式:显然这是一个线性递推数列。

    通项公式:

  • 此公式又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。

解法1:非数组+非递归

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,c;

int main()
{
	a=1;
	b=1;
	for(int i=1;i<=38;i++)//38的原因是已知两个数的值 
	{
		c=a+b;//前一个值+前两个值
		a=b;//值位置的变换 
		b=c;
	}
	printf("%lld",c);
	return 0; 
}

解法2:数组+非递归

时间复杂度约为O(n)

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];

int main()
{
	num[1]=1;
	num[2]=1;
	for(int i=3;i<=40;i++)
	{
		num[i]=num[i-1]+num[i-2];
	}
	printf("%d",num[40]);
	return 0;
}

解法3:非数组+递归

时间复杂度约为(2^n)

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll step=0,cnt=0;

int Digui(ll step)
{
	cnt++;
	if(step==1||step==2)
	{
		return 1;
	}
	return Digui(step-1)+Digui(step-2);
}

int main()
{
	Digui(40);
	printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt);//答案 递归次数 
	return 0;
}
 

通过cnt计算发现,进行了非常多次数的递归,原因是我们进行了重复计算

斐波那契数列(C/C++)_第3张图片

 这样二叉树的结构导致进行了大量重复计算,这是我们特别不希望看到的,所以要进行记忆化

解法4:数组+递归

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];
ll step=0,cnt=0;
bool vis[maxn];
int Digui(ll step)
{
	cnt++;
	if(step==1||step==2)
	{
		return 1;
	}
	if(!vis[step])
	{
		vis[step]=true;
		num[step]=Digui(step-1)+Digui(step-2);
		return num[step];
	}
	else
	{
		return num[step];
	}
}
int main()
{
	vis[1]=true;
	vis[2]=true;
	num[1]=1;
	num[2]=1;
	Digui(40);
	printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt); 
	return 0;
}
 

这样计算次数会大大降低

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