数学题,用二阶线性微分方程,求出由电容器、感应器、电阻器构成的闭合电路中的电压及电流:


符号:电压u,电流i。第一步,列出二阶微分方程,LCu''+RCu'+u=E(其中,u为电压,C为电容,R为电阻,L为感应系数,E为电动势)

[此方程由L×di/dt+R×i+u=E转变而来(di/dt表示“电流”i对“时间”t求导),将i化为u的过程如下:由于i=dq/dt,C=Q/U,即Q=UC,即q=uc,所以dq/dt化为d(uc)/dt,又因C是常数,常数可分离,所以电流i=dq/dt=d(uC)/dt=C×du/dt=C×u'(u'表示u的导数),即iR=Cu'R。∵i=Cu',∴di/dt是C×u'对t求导,即为C×u''(u''表示u的二阶导数,即对u'求导)。原方程L×di/dt+R×i+u=E即化为LCu''+RCu'+u=E,原方程的含义是,内部元件总的电压相加等于总的电势能]

第二步,消除二阶导数u''前的系数,等式两边同时除以LC,微分方程变为u''+R/L×u'+1/LC×u=E/LC。分别代入R,L,C,E的常数值于方程中,其中E单位V,C单位F(1F=10^6μF)(^表示“幂”的意思,如2^3=2³=2的3次方)(以下将多次用到,请牢记,^表示“幂”的含义),L单位H,R单位Ω,将微分方程的系数化为常数,算得,u''+10^4×u'+5×10^7×u=10^9。

第三步,列出二阶微分方程的“特征方程”,将u''换为r²,u'换为r,u改为1,等式右边消为0,即是“特征方程”,列出一元二次方程:r²+10^4×r+5×10^7=0,求r的解(这一步是为了求出r的取值,代入可得“微分方程”的“通解”)。

如r有两个根,则分别记r1和r2,则微分方程的通解是C1×e^r1x+C2×e^r2x(C1和C2分别表示任意常数。x仅指被求导的对象,如果导数为du/dt,则把x换为t)。

如只有一个根,r1=r2=r,则微分方程的通解是(C1+C2X)×e^rx。

如r为虚数根,表达式为r=α±iβ(i是虚数),则微分方程通解的表达式为e^αx×(C1×cosβx+C2×sinβx)。

本题解得r=-5×10³±5×10³i,即r为虚数根,且α=-5×10³,β=5×10³,把x改为t,则通解为U=e^(-5×10³)t×[C1×cos(5×10³)t+C2×sin(5×10³)t]

第四步,求“特解”,呼应通解,微分方程的“解”等于“通解”加“特解”,通解求出,来求“特解”,求特解时,等式右边还原函数多项式。(U*表示U的特解)设U*为微分方程的特解,假定U*等于三项未知数相乘。三项未知数根据等式右边函数的三项而确定,讲三看!一看,等式右边有无e,等式右边的乘式如果有e^λx元素(λ为任意常数),则U*的乘项中添加一项e^λx;二看,等式右边的函数关于X的最高次数,如是一次方,如X,则U的乘项中添加一项(ax+b),如是二次方,如X²,则U*的乘项中添加一项(ax²+bx+c),x从最高次方依次递减,减到0次幂,前跟常项系数,依此类推;三看,右式中e^λx,λ的取值,将λ与r的根对照,如相等,λ等于r的一个根,则U*乘项中添一个X,λ等于r的两个根,则U*乘项中添一个X²,如不等,则不添。三项相乘,则将U*未知数的表达式求出。例如此题,右式为10^9,无e,因e^0x=1,则λ=0,即λ≠-5×10³±5×10³i,则不添X。又,∵右式e^λx=e^0x=1,则U*乘项添1。右式无X,即为Xº,则左式设单一常数A,1×A=A,即U=A

第五步,将u=A代入微分方程u''+10^4×u'+5×10^7×u=10^9中,即A''+10^4×A'+5×10^7×A=10^9,得A=20,U*=20,则U=e^(-5×10³)t×[C1×cos(5×10³)t+C2×sin(5×10³)t]+20(通解+特解)

第六步,求出C1与C2的具体取值,代入“初值条件”,当t=0时,u=0,∵初始电压为0。再代入t=0时,u'=0,∵初始电流i=0,而电流i=C×u',C≠0,即u'=0。再将方程式U=e^(-5×10³)t×[C1×cos(5×10³)t+C2×sin(5×10³)t]+20求导,得U'=e^(-5×10³)×[(-5×10³×C1+5×10³×C2)×cos(5×10³)t+(-5×10³×C2-5×10³×C1)×sin(5×10³)t],将t=0时,u=0,u'=0代入解析式,得出C1=-20,C2=-20,将C1和C2代入U中,即U=-20×e^(-5×10³)t[cos(5×10³)t+sin(5×10³)t]+20(V),U得出。

求电流i,∵i=C×u',即,u'=e^(-5×10³)×(-20)×(-10×10^3)×sin(5×10³)t,C=0.2×10^-6(法),

代入得i=4×10^(-2)×e^(-5×10³)t×sin(5×10³)t(A),i得出。

(高数课后随堂小测验,据说是“基础中的基础”?)

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