408数据结构知识点——第三章 栈、队列和数组（二）
文章目录
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- 栈和队列的应用
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- 括号匹配
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- 代码实现
- 表达式求值
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- 代码实现
- 栈在递归中的应用
- 队列的应用
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- 舞伴问题
- 树的层次遍历
- 图的广度优先遍历
- 操作系统处理机调度策略
- 数组和特殊矩阵
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- 数组的存储结构
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- 一维数组
- 二维数组
- 普通矩阵的存储
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- 对称矩阵的压缩存储
- 三角矩阵的压缩存储
- 三对角矩阵的压缩存储
- 稀疏矩阵的压缩存储
注：内容参考王道2024考研复习指导以及《数据结构》
栈和队列的应用
括号匹配
问题：
假设表达式中允许包含两种括号：圆括号和方括号，其嵌套的顺序随意，即：
- ( [ ] ( ) )或[ ( [ ] [ ] ) ]为正确格式；
- [ ( ] )为错误格式；
- ( [ ( ) )或( ( ) ] )为错误格式。
分析：
可用栈实现该特性。最后出现的左括号最先被匹配（LIFO），每出现一个右括号，就 “消耗”一个左括号。
依次扫描所有字符，遇到左括号入栈，遇到右括号则弹出栈顶元素检查是否匹配。
匹配失败情况：①左括号单身②右括号单身③左右括号不匹配。
算法流程图：
代码实现
bool bracketCheck(char str[],int length){
SqStack S;
InitStack(S);
for(int i=0;i表达式求值
算数表达式由三部分组成：
- 操作数(operand)：常数、标识符
- 表达式运算符(operator)：算术、逻辑、关系
- 界限符（delimiter）：括号、结束符
表达式分为三种：
- 中缀表达式：运算符在两个操作数中间
- 后缀表达式（逆波兰式）：运算符在两个操作数后面
- 前缀表达式（波兰式）：运算符在两个操作数前面
代码实现
中缀表达式转后缀：
初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。
从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：
- 遇到操作数。直接加入后缀表达式。
- 遇到界限符。遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。
- 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(” 或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。
按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。
用栈实现后缀表达式的计算：
- 从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
- 若扫描到操作数则压入栈，并回到1；否则执行2；
- 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到1；
- 注：先出栈的是右操作数。
若计算前缀表达式，则应该从右往左扫描，其余与计算后缀表达式相同，注意先出栈的是左操作数。
算符间的优先关系：
OperandType EvaluateExpression(){
SqStack OPTR,OPND;
InitStack (OPTR);//运算符栈
Push(OPTR，'#') ;
InitStack (OPND);//操作数栈
ch=getchar();
while (ch!= '#' || GetTop(OPTR)! = '#') {
if (! In(ch)){
Push(OPND,ch); ch=getchar();
} // ch不是运算符则进栈
else
switch (Precede(GetTop(OPTR),ch)) {//比较优先权
case '<' : //当前字符ch压入OPTR栈，读入下一字符ch
Push(OPTR, ch);
ch = getchar();
break;
case '>' ://弹出OPTR栈顶的运算符运算，并将运算结果入栈
Pop(OPTR, theta);
Pop(OPND, b);
Pop(OPND, a);
Push(OPND,Operate(a, theta, b));
break;
case '=' : //脱括号并接收下一字符
Pop(OPTR,x);
ch = getchar();
break;
} // switch
} // while
return GetTop(OPND);
} // EvaluateExpression
栈在递归中的应用
函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）。
函数调用时，需要用一个栈存储：
- 调用返回地址
- 实参
- 局部变量
递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”，每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶；每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息。
缺点：效率低，太多层递归可能会导致栈溢出；可能包含很多重复计算。
队列的应用
舞伴问题
问题：假设在舞会上，男士和女士各自排成一队。舞会开始时，依次从男队和女队的对头各出一人配成舞伴。如果两队初始人数不相同，则较长的那一队中未配对者等待下一轮舞曲。现要求写以算法模拟上述舞伴配对问题。
分析：显然，先入队的男士或女士先出队配成舞伴。因此该问题具有典型的先进先出特征，可以利用队列作为算法的数据结构。首先构造两个队列依次从队头元素出队配成舞伴某队为空，则另外一对等待着则是一下舞曲第一个可获得舞伴的人。
树的层次遍历
图的广度优先遍历
操作系统处理机调度策略
数组和特殊矩阵
数组的存储结构
一维数组
各数组元素大小相同，且物理上连续存放。
数组元素a[i] 的存放地址 = L O C + i ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) ( 0 ≤ i < 10 ) = LOC + i * sizeof(ElemType) (0≤i<10) =LOC+i∗sizeof(ElemType)(0≤i<10)
注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始 注意审题！
二维数组
行优先存储：M行N列的二维数组中，则
b{i,j}的存储地址 = L O C + ( i ∗ N + j ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) = LOC + (i*N + j) * sizeof(ElemType) =LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)
列优先存储：M行N列的二维数组中，则
b{i,j}的存储地址 = L O C + ( j ∗ M + i ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) = LOC + ( j*M+ i ) * sizeof(ElemType) =LOC+(j∗M+i)∗sizeof(ElemType)
普通矩阵的存储
对于普通矩阵可用二维数组存储，但是某些特殊矩阵可以压缩存储空间。
对称矩阵的压缩存储
若 n 阶方阵中任意一个元素 a i , j a_{i,j} ai,j都有 a i , j = a j , i a_{i,j} = a_{j,i} ai,j=aj,i，则该矩阵为对称矩阵。
压缩存储策略：只存储主对角线+下三角区（或主对角线+上三角区）。按行优先原则将各元素存入一维数组中。
从矩阵下标推出一维数组下标，即 a i , j ( i ≥ j ) → B [ k ] a_{i,j}(i \geq j) \rightarrow B[k] ai,j(i≥j)→B[k]，则有 k = i ( i − 1 ) 2 + j − 1 k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1 k=2i(i−1)+j−1。
出题方法：
- 存储上三角？下三角？
- 行优先？列优先？
- 矩阵元素的下标从0？1？开始
- 数组下标从0？1？开始
三角矩阵的压缩存储
下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素相同
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素相同
压缩存储策略：按行优先原则将橙色区元素存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量c。
从矩阵下标推出一维数组下标，即 a i , j ( i ≥ j ) → B [ k ] a_{i,j}(i \geq j) \rightarrow B[k] ai,j(i≥j)→B[k]，则有
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下三角矩阵KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 56: …-1)}{2}+j-1 & \̲m̲b̲o̲x̲{for} & i \leq…
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上三角矩阵KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 65: …)}{2}+(j-i) & \̲m̲b̲o̲x̲{for} & i \leq…
三对角矩阵的压缩存储
压缩存储策略：按行优先（或列优先）原则，只存储带状部分
从矩阵下标推出一维数组下标，即 a i , j ( i ≥ j ) → B [ k ] a_{i,j}(i \geq j) \rightarrow B[k] ai,j(i≥j)→B[k]，则有 k = 2 i + j − 3 k=2i+j-3 k=2i+j−3
若已知数组下标k如何得到i，j？
分析：前i-1行共 3(i-1)-1 个元素，前i行共 3i-1 个元素，显然， 3(i-1)-1 < k+1 ≤ 3i-1
稀疏矩阵的压缩存储
压缩存储策略：
- 顺序存储——三元组 <行，列，值>
- 十字链表法
