【LeetCode-53】最大子数组和(贪心&动归)

LeetCode53.最大子数组和

力扣题目链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

  • 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  • 输出: 6
  • 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6
解法1:贪心算法

如果 -2 1 在一起,计算起点的时候,一定是从 1 开始计算,因为负数只会拉低总和,这就是贪心贪的地方!
局部最优:当前“连续和”为负数的时候立刻放弃,从下一个元素重新计算“连续和”,因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优:选取最大“连续和”

局部最优的情况下,并记录最大的“连续和”,可以推出全局最优

从代码角度上来讲:遍历 nums,从头开始用 count 累积,如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数,那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了,因为已经变为负数的 count,只会拖累总和。

Java版本解法:

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) return nums[0];

        int count = 0;
        int sum = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            count+=nums[i]; // 每一次只记录下最大的值,如果前面的数相加一直为正则可以继续往后相加
            sum = Math.max(sum, count);
            if (count <= 0) count = 0;
        }
        return sum;
    }
}

解法2:动态规划

这个题我们也可以使用动态规划来做,因为我们遍历数组的时候每一个的dp[i]最大值,都是通过dp[i-1]进行推导而出。我们做动态规划的题的时候,根据我学习的代码随想录里面的方法,分为了五个步骤:

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]

  • 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来:

  • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
  • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

  • dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

  • 确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历

  • 举例推导dp数组

手动的推导一下推导过程

    public int maxSubArray1(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) return nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        int max = nums[0];
        dp[0] = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]);
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }

        return max;
    }
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

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