714. Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee(week8)

714. Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee

题目描述

Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.

You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)

Return the maximum profit you can make.

Example 1:

Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
Output: 8
Explanation: The maximum profit can be achieved by:
Buying at prices[0] = 1
Selling at prices[3] = 8
Buying at prices[4] = 4
Selling at prices[5] = 9
The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

Note:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

解题思路

显然，这是一道动态规划问题。对于这种问题而言，理解问题，并抽离出模型尤为关键。从题目可以知道，我们在每一天可以买、卖股票，或者什么都不做，但是约束是手里持有股票的股票数量最多为1（不能一次买多股，买之前必须先卖掉）。每次交易我们都需要付出一定的手续费。算出最后一天最大的利润值。

先从最后一条规则入手：买卖股票需要付手续费，也就是说，如果在当天同时买入又卖出股票，最后得到的利润是负数，显然是不符合题目要求的，因此，我们可以得出每天的操作只能是：买一次、卖一次、什么都不做。另外，如果我们要在某一天卖掉股票，由于当天买入立即卖出是不可行的，因此，在前一天，我们至少要持有股票。总结一下就是：

今天卖股票之后的利润=前一天手握这支股票时的利润+今天股票的价格-手续费

同理，如果今天我们需要买进股票：

今天买股票之后的利润=前一天没有股票时的利润-今天股票的价格

最后，如果今天什么都不做：

今天持有股票的利润=昨天持有股票的利润
今天没有股票的利润=昨天没有股票的利润

从上述的式子，我们不难总结出：每天的状态都分为是否持有股票两种情况。题目要求我们求出最后一天（N）能获得的最大利润，我们不妨可以这样考虑：

最后一天持有股票的利润=前一天持有股票的利润 | 前一天没有股票的利润-今天的价格
最后一天没有股票的利润=前一天没有股票的利润 | 前一天持有股票的利润+今天的价格-手续费

假设这时候我们已经知道了第N-1天没有持有股票时利润的最大值以及持有股票时利润的最大值，那么最后一天的持有股票和没有股票的利润的最大值就是：

最后一天持有股票的利润=MAX{前一天持有股票的利润, 前一天没有股票的利润-今天的价格}
最后一天没有股票的利润=MAX{前一天没有股票的利润, 前一天持有股票的利润+今天的价格-手续费}

第一天两种状态的利润是已知的，因此，无论N取什么值，都能算出当前N两种状态的最大值。由此总结出动态规划的状态转移方程：

// 0代表没有股票，1代表持有股票
profit[n][0] = max(profit[n-1][1] + price[n] - fee, profit[n-1][0])
profit[n][1] = max(profit[n-1][1], profit[n-1][0] - price[n])
return max(profit[n][0], profit[n][1])

一点优化

由于我们并不需要返回每天的最大利润，因此，记录下每天的状态和价格是没有必要的，只需要记录下前一天的两个状态，并且在今天的迭代中分别替换掉他们即可。

时间复杂度分析

每天的计算量为O(1)，遍历一次即可得到结果，复杂度为O(n)。

空间复杂度分析

如果不做优化，则需要开一个天数乘二大小的二维数组，复杂度为O(n)。优化后复杂度为O(1).

源码

class Solution {
public:
  int maxProfit(vector& prices, int fee) {
    if (prices.size() == 0) {
      return 0;
    }
    int days = prices.size();
    int profits[50001][2] = {0};
    profits[0][1] = -prices[0];
    for (int i = 1; i < days; ++i) {
      profits[i][0] = max(profits[i-1][1] + prices[i] - fee, profits[i-1][0]);
      profits[i][1] = max(profits[i-1][1], profits[i-1][0] - prices[i]);
    }
    
    return profits[days-1][0] > profits[days-1][1] ? profits[days-1][0] : profits[days-1][1];
  }
};