代码随想录算法训练营第四十五天 | 70. 爬楼梯 （进阶），322. 零钱兑换，279.完全平方数

代码随想录算法训练营第四十五天 | 70. 爬楼梯 （进阶），322. 零钱兑换，279.完全平方数

1.1 70. 爬楼梯 （进阶）

思路：

1. 完全背包问题
2. dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法
3. dp[i] += dp[i - j]
4. 求排列问题

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度: O(nm)
• 空间复杂度: O(n)

1.2 322. 零钱兑换

思路：

1. 完全背包问题
2. dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
3. dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])
4. 钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数

/ 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

• 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
• 空间复杂度: O(amount)

1.3 279.完全平方数

思路：

1. 完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品
2. dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
3. dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])
4. 每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

// 版本一
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度: O(n * √n)
• 空间复杂度: O(n)