Python线性方程组求解

目录

1 线性方程组分类

2 线性方程组解的情况和对应条件

2.1 齐次线性方程组

2.2 非齐次方程 

3 线性方程组求解——Python

3.1 齐次线性方程

3.2 非齐次方程

---

1 线性方程组分类

线性方程组按常数项是否为0可分为：齐次线性方程组Ax=0和非齐次方程组Ax=b。

线性方程组按照方程个数和未知数个数的比较结果可分为：超定方程、欠定方程、适定方程。超定方程指方程个数大于未知数个数；欠定方程指方程个数小于未知数个数；适定方程指的是方程个数等于未知数个数。

2 线性方程组解的情况和对应条件

2.1 齐次线性方程组

齐次线性方程组可表示为：

，A为m×n的矩阵

从上式可以看出，齐次线性方程组一定有解，即零解。所以齐次线性方程组的解有两种情况：① 只有零解；② 有非零解。

通用判定条件：

如果R(A)=n，则只有零解；
如果R(A)＜n，则有非零解。

如果A是方阵，还可以采用行列式来进行判定（行列式为0时，一定不是满秩，即R(A)

如果，只有零解；
如果，有非零解。

2.2 非齐次方程 

齐次方程可表示为：

，A为m×n的矩阵

非齐次方程的解有三种情况：① 无解；② 唯一解；③ 无穷解。

通用判定条件：

如果R(A) 如果R(A)=R(A:b)=n，则有唯一解；
如果R(A)=R(A:b)

注：文中(A:b)均表示增广矩阵

3 线性方程组求解——Python

无论是齐次方程还是非齐次方程求解之前都需要判断方程解的情况，然后再求解。

3.1 齐次线性方程

① R(A)=n，此时方程只有零解，即x=0；

② R(A)化零矩阵求出方程组的特解，如果求得的向量个数大于1，取其中一列即为方程的一个特解。
化零矩阵：对于非满秩矩阵A，若存在矩阵X使 A∗X = 0 ，且 X∗X= I ，即X不等于0，则称矩阵X为矩阵A的化零矩阵.

Python代码如下：

import numpy as np
import scipy
A=np.array([[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]) #创建矩阵A
m=A.shape[0] #行数
n=A.shape[0] #列数
rank_A=np.linalg.matrix_rank(A) #求解A的秩，rank(A)
print(f"rank_A={rank_A},n={n}")
if rank_A==n: #判断解的情况
    print("ran(A)=n，方程只有零解")
    x = np.zeros(m)
    print(f"x={x}")
else:
    print("ran(A)

测试用例是有非零解的方程，运行结果如下：

rank_A=2,n=4
ran(A)

3.2 非齐次方程

① R(A)=R(A:b)=n，有唯一解，即。

② R(A)=R(A:b)。

③ R(A) ，使得最小，则称 为线性方程组的最小二乘解。

Python代码如下：

import numpy as np
import scipy
A=np.array([[1,2,3,4],[2,2,1,1],[2,4,6,8],[4,4,2,2]]) #创建矩阵A
b=np.array([[1],[3],[2],[6]]) #矩阵b
C=np.append(A,b,axis=1) #增广矩阵
m=A.shape[0] #行数
n=A.shape[0] #列数
rank_A=np.linalg.matrix_rank(A) #求解A的秩，rank(A)
rank_C=np.linalg.matrix_rank(C) #求增广矩阵(A:b)的秩，rank(A:b)
print(f"rank_A={rank_A},rank_C={rank_C},n={n}")
if rank_A==rank_C==n: #判断解的情况
    print("ran(A)=rank(C)=n，方程有唯一解")
    x=np.linalg.inv(A)@b #逆矩阵求解，A^-1*B
    print(f"x={x}")
elif rank_A==rank_C

从代码可以看出无论是哪种情况，对于非齐次线性方程组来说都可以采用的这条代码来进行求解。

测试用例采用的是有无穷解的方程，运行结果如下：

rank_A=2,rank_B=2,n=4
ran(A)=rank(B)

有兴趣的可以采用其它测试用例（无解、唯一解）来测试代码的运行结果。

参考链接如下：

基于MATLAB的求解线性方程组（附完整代码和例题）_唠嗑！的博客-CSDN博客_matlab解线性方程组