【C++】数位DP的模板(找到小于n的数字的每位组成)

整理自Leetcode大佬灵神（灵茶山艾府）的板子，感谢大佬的题解ψ(｀∇´)ψ
大佬

1 思路讲解

以力扣的2376题为例：

我们先去看当n = 123为例子时的思路，可以把问题看作是f(i, mask)然后一共有三个位置i，往三个位置填数字（mask是为了防止位上的数字出现重复的约束条件，本文为了能够记忆化搜索，将mask用10个位的int数字1024来代替vectorcnt(10,false))。
【第三个参数】我们顺着思路向下分析：
因此，当i = 0，这个位置的数字可以是0, 1；当i = 1，这个位置的数字可以是0，1，2或者0-9；当i=2时，这个位置的数字可以是0, 1, 2或者0-9;`

• i=1时能否直接0-9都是根据i=0是否贴合n相应位的大小(题中为1)来决定的。
• 同样，当i=2时能否直接0-9时根据i=0和i=1是否贴合n相应位的大小(题中为2)来决定的。

故，我们需要第三个参数，来表示当前的i是否要收到限制。因此，引入bool型的isLimit参数。
【第四个参数】与本题约束条件相碰撞的一种情况：前导零！题目中要求数字不允许重复，但是当010出现时，明明是合法的，但是会被约束条件所剪枝。因此我们引入一个新的布尔参数isNum，其表示i前面是否填了数字：

• 如果为false，代表当前为可以跳过(继续保持false)，或者填入至少为1的数字。
• 如果为true，代表前面已经有数字了，因此只能填0-9的数字

因此，思路可以分为下面：

1. 因为is_limit涉及到了数和位的比较，因此需要将n转化成string，并且加入到dp递归的参数中。
2. 首先先确定结束关系，当位置i到了n的长度了，那么就到了终点了,此时返回is_num因为is_num=0意味着没有取过数，自然方法数为0。
3. 然后是记忆化步骤，判断该dp里面的值是不是改变了，如果改变了，直接返回该值即可
4. 接下来初始化答案值，开始下面的递归各类情况求值。
5. 判断is_num是否跳过，先把跳过该位的情况递归求出来
6. 判断is_limit，确定接下来回溯选择的范围的上界
7. 因为第五步无论是否跳过，都需要继续计算上没跳过的情况，因此需要根据is_num来决定回溯选择的范围的下界
8. 配合约束条件，将答案值在回溯选择的过程中加起来即可。

【初始dp的情况】注意一开始的is_limit应为true（因为第一位一定不是0-9，除非n的最高位是9，但这也是收到限制），而is_num应为false(因为第一位也可以是0，进行跳过)。

class Solution {
public:
    //这里的第一个10是因为n的范围不超过1e9
    //第二个1024代表10个位，正好数字的范围是0-9
    int arr[10][1024][2][2];
    int countSpecialNumbers(int n) {
        string n_s = to_string(n);
        return dp(0, 0, true, false, n_s);
    }
    int dp(int i, int mask, bool is_limit, bool is_num, string n) {
        //1.结束条件
        if(i == n.size()) return is_num;
        //2.记忆化搜索
        if(arr[i][mask][is_limit][is_num] != 0) return arr[i][mask][is_limit][is_num];
        //3.前面是否已经有数字了,没有才能跳过
        int ans = 0;
        //因为跳过了，因此后面既不受限制，前面也没出现过数字
        if(!is_num) ans += dp(i+1, mask, false, false, n);
        //4.确定该位数的上下界
        int up = 9, down = 0;
        if(is_limit) up = n[i] - '0';
        if(!is_num) down = 1;
        //开始尝试遍历填入这个位置的值
        for(int j = down; j <= up; ++j) {
            //dp里的第二个参数是将mask写入，防止重复
            //第三个参数,只有前面都是限制的，这次也到上限才变
            //这次因为赋数了，因此第四个参数为true
            if(((mask >> j) & 1) == 0) ans += dp(i+1, mask|(1<<j),is_limit && (j == up), true, n);
        }
        //做记录
        arr[i][mask][is_limit][is_num] = ans;
        return ans;
    }
};

2 例题

2.1 没有约束条件

这个题没有约束条件，因此可以不使用mask。其实只是需要修改回溯遍历那里，因为那里选择的数字只能是digits数组里的数字，并不是0-9任意选。

class Solution {
public:
    //因为n的范围是1e9
    int arr[10][2][2];
    int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
        string n_s = to_string(n);
        return dp(0, true, false, n_s, digits);
    }
    int dp(int i, bool is_limit, bool is_num, string n, vector<string>& digits) {
        //1
        if(i == n.size()) return is_num;
        //2
        if(arr[i][is_limit][is_num] != 0) return arr[i][is_limit][is_num];
        //3
        int ans = 0;
        if(!is_num) ans += dp(i+1, false, false, n, digits);
        //4确定该位的上下限
        int up = 9, down = 0;
        if(is_limit) up = n[i] - '0';
        if(!is_num) down = 1;
        for(auto &ch: digits) {
            //仅这里需要选择，只能选择digit数组里面的数字，并且要保证在上下界里面
            int num = stoi(ch);
            if(num <= up && num >= down)ans += dp(i+1, is_limit && (num == up), true, n, digits);
        }
        arr[i][is_limit][is_num] = ans;
        return ans;
    }
};

2.2 统计数位中的数字个数（多个记录参数，少两个没用的参数）

首先，因为没有约束条件，因此is_num参数（前面有没有0都无所谓）和mask参数是不需要的。
这样，只有两个变量了，一个是统计填数的位置，另一个是is_limit，然而只靠这两个是没办法实现记忆化的，那么就会导致速度大大降低！

由于是统计1的个数，因此我们需要多一个变量来记录1 的个数。这样从后往前递归，就能记住当递归到该i位置时，已有cnt个，最后将有ans个，下一次，再到i时，已有cnt个就不用再往后递归了，因为肯定时之前记录的ans个。

class Solution {
public:
    //此处的32是因为n最多只有31个1
    int arr[10][2][32];
    int countDigitOne(int n) {
        return dp(0, true, 0, to_string(n));
    }
    int dp(int i, bool is_limit, int cnt, string n) {
        //1
        if(i == n.size()) return cnt; 
        //2
        if(arr[i][is_limit][cnt] != 0) return arr[i][is_limit][cnt];
        //4
        int up = 9, ans = 0;
        if(is_limit) up = n[i] - '0';
        for(int j = 0; j <= up; ++j) {
            //如果j是1，则统计1的个数的变量cnt加1
            ans += dp(i+1, is_limit && (j == up), cnt+(j==1), n);
        } 
        arr[i][is_limit][cnt] = ans;
        return ans;
    }
};