用约束规划+概率图模型（信念传播）+神经网络端到端求解组合优化问题

主要技术点：

用约束规划+概率图模型（信念传播）+神经网络端到端求解问题，生成一个关于变量的N*M矩阵，N是变量个数，M是变量取值集合的大小，矩阵元素代表某变量取某元素的信念，根据这个矩阵可自然读出解（如果不满足约束的情况实在太严重，就进一步加primal-dual unrolled optimization、启发式搜索、分支定界等后处理机制）：

《Belief Propagation Neural Networks》（BPNN）设计了一个模块化的信念传播神经网络框架，它已经可以进行一些推理，求解NP完全问题了，只不过我对它们在复杂约束问题中的表现有所怀疑，想嵌入约束传播机制。由于文章的模块化做的很好，我只需将BPNN中因子-变量图消息传递模块修改成约束规划中约束归并与约束-变量图消息传递模块。正好今年新出一篇文章让上述修改变得比较容易——《From Support Propagation to Belief Propagation in Constraint Programming》。

修改后只是简单嵌入了约束传播机制，这是我们的基本框架。之后，再根据下面第三点中的文章，做进一步的大规模约束的缩减/聚合并考虑加入比较好的后处理机制。样本利用效率、在线机器学习等做为最后的考虑点……

1. 网络框架基于2020年《Belief Propagation Neural Networks》 https://arxiv.org/pdf/2007.00295.pdf（概率图模型+图神经网络）
2. 约束传播技术主要基于IJCAI 2020 《From Support Propagation to Belief Propagation in Constraint Programming》，把它网络化参考《Neural Probabilistic Logic Programming in DeepProbLog》、《Policy Message Passing: A New Algorithm for Probabilistic Graph Inference》
3. 进一步优化则参考 《Practical Message-passing Framework for Large-scale Combinatorial Optimization》（初始化、并行、后处理机制的各种技巧）、《Augmentative Message Passing for Traveling Salesman Problem and Graph Partitioning》（专门处理约束很多的COP）、《Computational Challenges in Material Discovery:Bridging Constraint Reasoning and Machine Learning》（约束聚类）、《Deep Reasoning Networks:Thinking Fast and Slow》、《Exact-K Recommendation via Maximal Clique Optimization》（更有效地利用样本）

求解细节：

Factor Graphs and Belief Propagation

 

 

这种近似最初是由统计物理学开发的，被称为Bethe自由能。

欢迎关注公众号”黄含驰的机器学习与优化打怪路“，干货爆满，不容错过！（每天内容都像下图这么丰富，日更4-8篇）

 

Belief Propagation Neural Networks （BPNN）

BPNN由两部分组成。 1.迭代BPNN层（BPNN-D）输出消息，将信念传递到Bethe自由能层（BPNN-B）中；2.Bethe自由能层（BPNN-B）通过执行从信念到Z的回归来概括Bethe近似。

BPNN-D

BPNN迭代层是灵活的神经运算符，可以以多种方式对信念或消息进行操作。（我们要修改的就是这儿！）原文的迭代方式如下

 

BPNN-B

这是对标准Bethe逼近的参数化，上式还通过将所有因子的信念传递给MLP_BF并对结果求平均值，以确保BPNN保留BP的对称性。

反复迭代生成关于变量的N*M矩阵，然后从矩阵中读出问题的解。

Constraint Propagation

用约束编程中的AllDifferent、Sum、Among、Table等约束元语翻译传统等式或不等式约束，形成约束-变量网络；
于是，将上述信念传播中的因子-变量图照抄，只不过因子的含义在这里变成了约束。约束-变量间的信息传递如下：

 

上图的marginal是求边际分布；另外，上图的各子函数流程如下：

 

 

《From Support Propagation to Belief Propagation in Constraint Programming》及其配套的库对不同类型的约束元语定义了不同的约束传播方式，比如

 

这套约束传播框架基本可以和BPNN结合“食用”，生成最终用于决策的信念矩阵！

资料库

PSDDs: Probabilistic Sentential Decision Diagrams
http://reasoning.cs.ucla.edu/psdd/

Tractable Learning in Structured Probability Spaces.
https://www.youtube.com/watch?v=Xc2J5Uzk7JI&ab_channel=SimonsInstitute

UCLA Automated Reasoning group
http://reasoning.cs.ucla.edu/

代码

对unroll damped BP刻画得很详细：
https://github.com/DucLeVanMinh/Repl-Massive-MIMO-Belief-Propagation-Neural-Network/blob/master/DNN-dBP.ipynb
原文：https://arxiv.org/pdf/1804.01002.pdf

《From Support Propagation to Belief Propagation in Constraint Programming》https://github.com/PesantGilles/MiniCPBP

因子图神经网络与消息传递神经网络
https://github.com/zzhang1987/Factor-Graph-Neural-Network/blob/master/lib/mpnn/mp_nn.py

https://bitbucket.org/problog/deepproblog/src/master/
https://github.com/pawelswoboda/LP_MP

https://github.com/kaist-ina/bp_solver The BP-based framework to solve large-scale combinatorial optimization

python-约束传播求解Naked Twins、Diagonal Sudoku https://github.com/JacobPolloreno/Artificial-Intelligence-ND/tree/master/Sudoku

 

欢迎关注公众号”黄含驰的机器学习与优化打怪路“，干货爆满，不容错过！（每天内容都像下图这么丰富，日更4-8篇）