数据结构与算法面试分享(九)：红黑树(R-B Tree)
红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组，是平衡二叉树和AVL树的折中。
目录
1. 概述
1.1 红黑树的引入
1.2 红黑规则
1.3 红黑树的应用
2. 红黑树的左旋右旋
2.1 红黑树的定义
2.2 红黑树的左旋
2.3 红黑树的右旋
2.4 红黑树新增节点
编辑
2.5 删除节点
编辑
3.红黑树的重要知识点
4.为什么要有红黑树
5.应用场景
1. 概述
1.1 红黑树的引入
有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？
在学习二叉搜索树、平衡二叉树时，我们不止一次提到，二叉搜索树容易退化成一条链
这时，查找的时间复杂度从O(log_{2}N)也将退化成O ( N )
引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树，保证查找操作的最坏时间复杂度也为O(log_{2}N)有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？
AVL的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡
在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣
红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，整体性能优于AVL
红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决
红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，也能在O(log_{2}N)时间内完成查找操作。1.2 红黑规则
一棵典型的红黑树，如图所示：
从图示，可以发现红黑树的一些规律：
- 节点不是红色就是黑色，根节点是黑色
- 红黑树的叶子节点并非传统的叶子节点，红黑树的叶子节点是null节点（空节点）且为黑色
- 同一路径，不存在连续的红色节点
以上是我们能发现的一些规律，这些规律其实是红黑规则的一部分。
红黑规则
- 节点不是黑色，就是红色（非黑即红）
- 根节点为黑色
- 叶节点为黑色（叶节点是指末梢的空节点
Nil或Null） - 一个节点为红色，则其两个子节点必须是黑色的（根到叶子的所有路径，不可能存在两个连续的红色节点）
- 每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（相同的黑色高度）
一些说明
- 约束4和5，保证了红黑树的大致平衡：根到叶子的所有路径中，最长路径不会超过最短路径的2倍。
- 使得红黑树在最坏的情况下，也能有O(log_{2}N)的查找效率
- 黑色高度为3时，最短路径：黑色→ \rightarrow→ 黑色 → \rightarrow→ 黑色，最长路径：黑色→ \rightarrow→ 红色 → \rightarrow→ 黑色 → \rightarrow→ 红色 → \rightarrow→ 黑色
- 最短路径的长度为2（不算Nil的叶子节点），最长路径为4
3.关于叶子节点：Java实现中，null代表空节点，无法看到黑色的空节点，反而能看到传统的红色叶子节点
4.默认新插入的节点为红色：因为父节点为黑色的概率较大，插入新节点为红色，可以避免颜色冲突
1.3 红黑树的应用
- Java中，TreeMap、TreeSet都使用红黑树作为底层数据结构
- JDK 1.8开始，HashMap也引入了红黑树：当冲突的链表长度超过8时，自动转为红黑树
- Linux底层的CFS进程调度算法中，vruntime使用红黑树进行存储。
- 多路复用技术的Epoll，其核心结构是红黑树 + 双向链表。
2. 红黑树的左旋右旋
2.1 红黑树的定义
上一章节可知，红黑树要比二叉搜索树多一个颜色属性
同时，为了方便确认插入位置，还可以多一个parent属性，用于表示当前节点的父节点
因此，红黑树节点的定义如下：
红黑树中，有一个root属性，用于记录当前红黑树的根节点
当红黑规则不满足时，需要对节点进行变色或旋转操作
2.2 红黑树的左旋
回忆二叉树的左旋：
（1）手工推演（先冲突，再移动）：
- 根节点成为右儿子的左子树；
- 右儿子原有的左子树成为根节点的右子树
（2）代码实现（先空位，再补齐）：
- 右儿子的左子树成为根节点的右子树
- 根节点成为右儿子的左子树
红黑树的左旋
红黑树节点中，包含父节点的引用
进行左旋时，不仅需要更新左右子树的引用，还需要更新父节点的引用
左旋需要三大步（被旋转的节点叫做节点P）：
（1）空出右儿子的左子树： （对应下图步骤2）
- 右儿子的左子树取代右儿子，成为节点P的右子树，从而空出右儿子的左子树
- 若右儿子的左子树不为空，需要更新左子树的父节点为节点P
（2）空出节点P的父节点： （对应下图步骤3）
右儿子去取代节点P，成为其父节点的子树
父节点指向右儿子
- 若父节点为null，root将指向右儿子，右儿子成为整棵树的根节点；
- 节点P是父节点的左子树，则右儿子成为父节点的左儿子；
- 节点P是父节点的右子树，则右儿子成为父节点的右儿子
（3）节点P和右儿子成功会师： （对应下图步骤4）
上述两步，空出了节点P的父节点和右儿子的左子树。这时直接更新，即可将节点P变成右儿子的左子树。
给出一个不是很正确的示意图
具体代码如下：
2.3 红黑树的右旋
回忆二叉树的右旋：
（1）手工推演（先冲突，再移动）：
- 根节点成为左儿子的右子树
- 左儿子原有的右子树成为根节点的左子树
（2）代码实现（先空位，再补齐）：
- 左儿子的右子树成为根节点的左子树
- 根节点成为左儿子右子树
红黑树的右旋
与红黑树的左旋一样，由于父节点引用的存在，不仅需要更新左右子树的引用，还需要更新父节点的引用
右旋需要三大步（被旋转节点称为节点P）：
（1）空出左儿子的右子树： （对应下图步骤2）
- 左儿子的右子树取代左儿子，成为节点P的左子树，以空出左儿子的右子树
- 若左儿子的右子树不为空，需要更新右子树的父节点为节点P
（2）空出节点P的父节点： （对应下图步骤3）
- 左儿子取代节点P，成为其父节点的子树
- 父节点指向左儿子：
。父节点为空，root将指向左儿子，左儿子成为整棵树的根节点
。节点P为父节点的左子树，左儿子成为父节点的左子树
。节点P为父节点的右子树，左儿子成为节点P的右子树
（3）节点P和左儿子成功会师： （对应下图步骤4）
上述两步，空出了节点P的父节点和左儿子的右子树。这时直接更新，即可将节点P成左儿子的右子树
给出一个不是很正确的示意图
具体代码如下：
2.4 红黑树新增节点
一些规则：
- 新插入的节点默认为红色，原因：插入黑色节点会影响黑色高度，对红黑树的影响更大；
- 新增节点x时，循环的依据： x != null && x != root && x.parent.color == RED，即节点非空、不是整棵树的根节点（保证存在父节点）且父节点为红色（违反红黑规则4，需要调整）
- 完成循环调整后，需要将整棵树的根节点设为黑色，以满足红黑规则1；同时，根节点设为黑色，不会影响从根节点开始的所有路径的黑色高度
2.4.1 父亲为祖父的左儿子
情况一：父亲和叔叔都是红色
当父亲为祖父的左儿子，父亲和叔叔都是红色时：
（1）将父亲和叔叔改成黑色，以满足红黑规则4
（2）父亲和叔叔变成黑色了，黑色高度变化，需要将祖父变成红色，以满足红黑规则5
（3）从祖父开始，继续调整
示意图如下：
情况二：叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
父亲为祖父的左儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
（1）父亲变成黑色，祖父变成红色（右子树的黑色高度变低）
（2）对祖父进行右旋，让父节点成为新的祖父，以恢复右子树的黑色高度
（3）不满足循环条件，退出循环
示意图如下：
情况三：叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
父亲为祖父的左儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
（1）父亲成为新的x，对父亲进行左旋操作，构造情况二的初始状态
（2）按照情况二，对新的x（原父亲）进行处理
示意图如下：
2.4.2 父亲为祖父的右儿子
情况一：父亲和叔叔都是红色
父亲为祖父的右儿子，父亲和叔叔都是红色
（1）将父亲和叔叔都变成黑色，以保证红黑规则4
（2）将祖父变成红色，以保证红色规则5（相同的黑色高度）
（3）从祖父开始，继续调整
示意图如下：
情况二：叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
父亲为祖父的右儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
（1）父亲变成黑色，祖父变成红色（左子树的黑色高度降低）
（2）对祖父进行左旋操作，以恢复左子树的黑色高度
（3）不满足循环条件，退出循环
示意图如下
情况三：叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
父亲是祖父的右儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
（1）父节点成为新的X，对父亲进行右旋操作，构造情况二的初始情况
（2）按照情况二，对新的x（原父节点）进行处理
示意图如下
2.4.3 规律总结
- 循环条件：x != null && x != root && x.parent.color == RED，即节点非空、不是整棵树的根节点（保证存在父节点）且父节点为红色
- 最终处理：将整棵树的根节点变成黑色，以满足红黑规则1，又不会违反红黑规则5
- 对父亲是祖父的左儿子或右儿子的处理是对称的，只需要理解左儿子时的处理方法，就可以举一反三，知道对右儿子的处理方法
父亲为祖父的左儿子：
- 父亲和叔叔都是红色，将父亲和叔叔变成黑色，祖父变成红色，继续对祖父进行调整
- 叔叔是黑色，自己是父亲的左儿子：父亲变成黑色，祖父变成红色；对祖父进行右旋以满足红黑规则；此时节点不满足循环条件，可以退出循环。
- 叔叔是黑色，自己数父亲的右儿子：父亲成为新的X，对父亲执行左旋操作，构造情况2；按照情况2继续进行处理
总结： 父叔同色，只进行变色操作；父叔异色，自己是右儿子，则进行LR操作；父叔异色，自己是左儿子，则进行R操作。
父亲为祖父的右儿子
- 父叔同色，只进行变色操作
- 父叔异色，自己是左儿子，则进行RL操作
- 父叔异色，自己是右儿子，则进行L操作
2.4.4 代码实现
根据上面的分析，不难写出新增红黑节点后的代码。假设新增的节点为p，则代码如下：
2.5 删除节点
一些规则：
- 删除节点时，通过节点替换实现删除
- 假设替换节点为x，需要在x替换被删节点后，从x开始进行调整
- 调整操作，循环的依据： x != root && x.color == BLACK，即替换节点不能为整棵树的根节点，替换节点的颜色为黑色（改变了红黑高度）
- 完成循环调整后，需要将x设为黑色，结束调整
2.5.1 自己是父亲的左儿子
情况一：兄弟为红色
此时，自己为黑色、兄弟为红色、父节点为黑色（满足红黑规则4）
（1）将兄弟变成黑色，父节点变成红色；这时，以父节点为起点的左子树黑色高度降低
（2）对父节点进行左旋，以恢复左子树黑色高度；同时，兄弟的左孩子成为新的兄弟
此时，自己和兄弟都是黑色，可能满足满足情况2、3和4、4
示意图如下：
情况二：兄弟为黑色，左右侄子也是黑色
此时，自己和兄弟都是黑色，父节点为黑色或红色；兄弟的两个儿子，都是黑色，将兄弟变成为红色，x指向父节点，继续进行调整
示意图如下：
情况三：兄弟为黑色，右侄子为黑色
此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为红色或黑色；右侄子为黑色、左侄子为红色；
（1）将左侄子变成黑色，兄弟变为红色；这时，以兄弟为起点的右子树黑色高度降低
（2）将兄弟节点右旋，以恢复右子树的黑色高度；这时，左侄子将成为新的右兄弟
此时，兄弟的右儿子为红色，满足情况4；继续按照情况4，对节点x进行调整
示意图如下：
情况四：兄弟为黑色，右侄子为红色
此时，自己和兄弟都是黑色，父节点为红色或黑色；右侄子为红色，左侄子为黑色或红色
（1）兄弟颜色改成与父节点一致，右侄子和父节点都变成黑色
（2）为了保证父节点变为黑色后，不影响所有路径的黑色高度，需要将父节点左旋（兄弟节点上提）
（3）x指向根节点，结束循环
示意图如下：
2.5.2 自己是父亲的右儿子
情况一：兄弟是红色节点
此时，兄弟是红色节点，父节点必为黑色；若兄弟有左右儿子，左右儿子必为黑色（满足红黑规则4）
（1）将兄弟变成黑色节点，父节点变成红色；这时，以父节点为起点的右子树黑色高度降低
（2）将父节点右旋，以恢复右子树的黑色高度；这时，兄弟的右孩子成为新的兄弟
此时，自己和兄弟都是黑色，将满足情况2、3和4、4
示意图如下：
情况二：兄弟是黑色，左右侄子也是黑色
此时，自己和兄弟是黑色，父节点可以为红色或黑色，将兄弟变成红色，x指向父节点，继续对父节点进行调整
示意图如下:
情况三：兄弟为黑色，左侄子为黑色
此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为黑色或红色；左侄子为黑色，右侄子为红色
（1）将右侄子变成黑色，兄弟变成红色；这是，以兄弟为起点的左子树黑色高度降低
（2）将兄弟左旋，以恢复左子树的黑色高度；这时，右侄子成为新的兄弟
此时，将满足情况4，可以按照情况4，继续进行调整
示意图如下：
情况四：兄弟为黑色，左侄子为红色
此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为红色或黑色；左侄子为红色，右侄子为红色或黑色
（1）将兄弟变成与父节点一样的颜色，左侄子和父节点变成黑色
（2）为了保证父节点变成黑色，不会影响所有路径的黑色高度，需要将父节点右旋（兄弟上提）
（3）x指向根节点，退出循环
示意图如下：
2.5.3 规律总结
- 循环条件：x != root && x.color = BLACK，x不是根节点且颜色为黑色
- 收尾操作：将x置为黑色
- x为父亲的左儿子或右儿子，处理操作是对称的；同样只需要记住左儿子时的操作，即可举一反三
x为父亲的左儿子
- 兄弟为红色：将兄弟变成黑色，父节点变成红色；对父节点左旋，恢复左子树的黑色高度，左侄子成为新的兄弟
- 兄弟为黑色，左右侄子为黑色：兄弟变成红色，x指向父节点，继续进行调整
- 兄弟为黑色，右侄子为黑色（左侄子为红色）：左侄子变成黑色，兄弟变成红色；兄弟右旋，恢复右子树的黑色高度，左侄子成为新的兄弟
- 兄弟为黑色，右侄子为红色：兄弟变成父节点颜色，父节点和右侄子变成黑色；父节点左旋，x指向整棵树的根节点，结束循环
2.5.4 代码实现
删除节点后，调整红黑树的代码如下：
3.红黑树的重要知识点
- 从二叉搜索树 → \rightarrow→ AVL，严格控制左右子树高度差，避免二叉搜索树退化成链表（时间复杂度从O(log_{2}N)退化成O ( N )
- 从AVL → \rightarrow→ 红黑树，牺牲严格的平衡要求，以换取新增/删除节点时少量的旋转操作，平均性能优于AVL；通过红黑规则，保证在最坏的情况下，也能拥有O(log_{2}N)的时间复杂度新城
- 红黑树的应用：Java的TreeMap、TreeSet、HashMap(JDK1.8)；linux底层的CFS进程调度算法中，vruntime使用红黑树进行存储；多路复用技术的Epoll，其核心结构是红黑树 + 双向链表。
- 红黑规则
- 红黑树节点的定义、红黑树的定义、红黑树的左旋、右旋操作
- 红黑树新增节点后的调整，记住左儿子的情况，举一反三右儿子的情况
- 红黑树删除节点后的调整，记住左儿子的情况，举一反三右儿子的情况
4.为什么要有红黑树
我们在上一篇博客认识到了平衡二叉树(AVLTree)，了解到AVL树的性质，其实平衡二叉树最大的作用就是查找,AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。AVL树的效率就是高在这个地方。如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理, 那么创建一颗平衡二叉树的成本其实不小. 这个时候就有人开始思考，并且提出了红黑树的理论，那么红黑树到底比AVL树好在哪里?
红黑树与AVL树的比较:
- 1.AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
- 2.红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
- 3.红黑树整体性能略优于AVL树(红黑树旋转情况少于AVL树)
红黑树的性质: 红黑树是一棵二叉搜索树，它在每个节点增加了一个存储位记录节点的颜色，可以是RED,也可以是BLACK；通过任意一条从根到叶子简单路径上颜色的约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡。
具体性质如下:
- 每个节点颜色不是黑色，就是红色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点就是黑色的(没有连续的红节点)
- 对于每个节点，从该节点到其后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
5.应用场景
- Java ConcurrentHashMap & TreeMap
- C++ STL: map & set
- linux进程调度Completely Fair Scheduler,用红黑树管理进程控制块
- epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块
- nginx中，用红黑树管理timer等