CHAPTER2 最大流与最小割

本文来自我的个人博客 https://www.zhangshenghai.com/posts/16099/

流网络

是一个简单有向图，在V中指定顶点s和t，分别称为源点和汇点，有向图G中的每一条边，对应有一个值，称为边的容量，这样的有向图G称作一个流网络，下图是一个例子。

称作是从顶点u到顶点v的流，它满足以下性质：

• 容量限制：对所有，要求。
• 反对称性：对所有，要求。

如果有一组流满足以下条件，那么这组流就成为一个可行流：

• 源点s：流出量 = 整个网络的流量
• 汇点t：流入量 = 整个网络的流量
• 中间点：总流入量 = 总流出量

最大流即网络G所有的可行流中，流量最大的一个可行流。

Ford-Fulkerson方法

之所以称为Ford-Fulkerson方法而不是算法，是由于它包含具有不同运行时间的几种实现。Ford-Fulkerson方法依赖于三种重要思想：残留网络、增广路径、割。这三种思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值，我们将会在后面谈到。以下给出Ford-Fulkerson方法的伪代码：

Ford-Fulkerson-Method(G, s, t):
    initialize flow f to 0
    while there exists an augmenting path p:
        do augment flow f along p
    return f

最大流最小割定理

首先来介绍割的概念，一个割会把图G的顶点分成两个不相交的集合，其中s在一个集合中，t在另外一个集合中。割的容量就是从A指向B的所有边的容量和，最小割问题就是要找到割的容量最小的情况。下面给出两个例子，割的容量分别为30和62。

接着介绍残留网络和增广路径的概念，给定一个流网络和一个可行流，流的残留网络拥有与原网相同的顶点。流网络中每条边将对应残留网中一条或者两条边，对于原流网络中的任意边(u, v)，流量为f(u, v)，容量为c(u, v)：

• 如果f(u, v) > 0，则在残留网中包含一条容量为f(u, v)的边(v, u);

• 如果f(u, v) < c(u, v)，则在残留网中包含一条容量为c(u, v) - f(u, v)的边(u, v)。

下图为一个例子：

对于一个已知的流网络和流，增广路径为残留网络中从s到t的一条简单路径。

最大流最小割定理：网络的最大流等于某一最小割的容量，并且下列条件是等价的：

• 是的一个最大流。
• 残留网络不包含增广路径。
• 对的某个割，有。

基本的Ford-Fulkerson算法

根据，我们可以求给定有向图的最大流。下面给出《算法导论》中的一个实例：

上图中的左边表示开始时的残留网络，右边表示将增广路径加入残留网络后得到的新的可行流，通过三次迭代即可得到最大流，根据最大流最小割定理，我们同样可以得到最小割。

再通过本课程课件上的一个例题进行练习。

同样通过基本的Ford-Fulkerson算法，可得到答案如下。

Edmonds-Karp算法

Edmonds和Karp曾经证明了如果每步的增广路径都是最短，那么整个算法会执行步，Edmonds-Karp算法是用广度优先搜索来实现对增广路径p的计算的，实现的伪代码如下图所示。

由于在广度优先搜索时最坏情况下需要次操作，所以此算法的复杂度为。之后，Dinitz改进了Edmonds-Karp算法，得到一个时间复杂度为的算法，下面给出一张关于最短增广路径算法研究历史的表格，这里就不再展开了。