0x52 背包

0x52 背包

背包是线性DP中一类重要而特殊的模型。

1. 0/1背包

0/1背包问题的模型如下：

给定$N$个物品，其中第$i$个物品的体积为$V_i$，价值为$W_i$。有一个容积为$M$的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过$M$的前提下，物品的价值总和最大。

根据上一节线性DP的知识，很容易想到依次考虑每个物品是否放入背包，用“已经处理的物品数”作为DP的“阶段”，以“背包中已经放入的物品总体积”作为附加维度。

$F[i,j]$表示从前$i$个物品中选出了若干物品放入体积为$j$的背包，物品的最大价值和。
$$F[i,j]=\max \{\begin{array}{l}F[i-1,j],不选第i个物品\\ F[i-1,j-V_i]+W_i,选第i个物品\end{array}$$
初值：未放入物品价值皆0，目标：$F[N][M]$。

memset(f,0,sizeof(f)); 
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    for(int j=0;j<=m;++j)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
}

通过DP的状态转移方程，我们发现，每一阶段$i$的状态只与上一个阶段$i-1$的状态有关。在这种情况下，可以使用称为“滚动数组”的优化方法，降低空间开销。

int f[2][MAX_M+1];
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    for(int j=0;j<=m;++j)
    {
        f[i&1][j]=f[(i-1)&1][j];
        if(j>=v[i])
            f[i&1][j]=max(f[i&1][j],f[(i-1)&1][j-v[i]]+w[i]);
	}
}

在上面的程序中，我们把阶段$i$的状态存储在第一维下标为$i\&1$的二维数组中。当$i$为奇数时，$i\&1$等于1；当$i$为偶数时，$i\&1$等于0。因此，DP的状态就相当于在$F[0][]$和$F[1][]$两个数组中交替转移，空间复杂度从$O(NM)$降低为$O(M)$。

进一步分析发现，在每一个阶段开始时，实际上执行了一次从$F[i-1][]$到$F[i][]$的拷贝操作。这提示我们进一步省略掉$F$数组的第一维，只用一维数组，即当外层循环到$i$个物品时，$F[j]$表示背包中放入总体积为$j$的物品的最大价值和。

int f[MAX_M+1];
memset(f,0,sizeof(f));
f[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=m;j>=v[i];--j)
		f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

请注意上面的代码片段特别标注的部分——我们使用的了倒序循环。循环到$j$时：

1.$F$数组的后半部分$F[j\sim M]$处于“第$i$个阶段”，也就是已经考虑过放入第$i$个物品的情况。

2.前半部分$F[0\sim j-1]$处于“第$i-1$个阶段”，也就是还没有第$i$个物品更新。

接下来$j$不断减小，意味着我们总是用“第$i-1$个阶段”的状态向“第$i$个阶段”的状态进行转移，符合线性DP的原则，进而保证了第$i$个物品只会被放入背包一次。如下图所示。

然而，如果使用正序循环，假设$F[j]$被$F[j-V_i]+W_i$更新，接下来$j$增大到$j+V_i$时，$F[j+V_i]$又可能被$F[j]+W_i$更新。此时，两个都处于“第$i$个阶段”的状态之间发生了转移，违背了线性DP的原则，相当于第$i$个物品被使用了两次。如下图所示。

所以，在上面的代码中必须用到倒序循环，才符合0/1背包中每个物品是唯一的、只能放入背包一次的要求。

2.完全背包

完全背包问题的模型如下：

给定$N$个物品，其中第$i$个物品的体积为$V_i$，价值为$W_i$，并且有无数个。有一个容积为$M$的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过$M$的前提下，物品的价值总和最大。

先来考虑使用传统的二维线性DP的做法。设$F[i,j]$表示从前$i$个物品中选出了若干物品放入体积为$j$的背包，物品的最大价值和。
$$F[i,j]=\max \{\begin{array}{l}F[i-1,j],尚未选过第i种物品\\ F[i,j-V_i]+W_i,ifj\ge V_i,从第i种物品中选一个\end{array}$$
初值：未放入物品价值皆0，目标：$F[N][M]$。

与0/1背包一样，我们也可以省略$F$数组的$i$这一维。根据我们在0/1背包中对循环顺序的分析，当采用正序循环时，就对应这每种物品可以使用无限次，也对应着$F[i,j]=F[i,j-V_i]+W_i$这个在两个均处于$i$阶段的状态之间进行转移的方程。

int f[MAX_M+1];
memset(f,0,sizeof(0));
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    for(int j=v[i];j<=m;++j)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}

3.多重背包

多重背包问题的模型如下：

给定$N$个物品，其中第$i$个物品的体积为$V_i$，价值为$W_i$，并且有$C_i$个。有一个容积为$M$的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过$M$的前提下，物品的价值总和最大。

直接拆分法

求解多重背包问题最直接的方法就是把第$i$种物品看作独立的$C_i$个物品，转化为共有${\sum }_{i=1}^N{C}_i$个物品的0/1背包问题进行计算，时间复杂度为$O(M\ast {\sum }_{i=1}^N{C}_i)$。该算法把每种物品拆分成了$C_i$个，效率较低。

unsigned int f[MAX_M+1];
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=c[i];++j)
        for(int k=m;k>=v[i];--k)
            f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]);

二进制拆分法

众所周知，从$2^0,2^1,2^2,...,2^{k-1}$这$k$个2的整数次幂中选出若干个相加，可以表示出$0\sim 2^k-1$之间的任何整数。进一步地，我们求出满足$2^0+2^1+...+2^p\le C_i$的最大整数$p$，设$R_i=C_i-2^0-2^1-...-2^p$，那么：

1.根据$p$的最大性，有$2^0+2^1+...+2^{p+1}>C_i$，可推出$2^{p+1}>R_i$，因此$2^0,2^1,...,2^p$选出若干个相加可以表示出$0\sim R_i$之间的任何整数。

2.从$2^0,2^1,...,2^p$以及$R_i$中选出若干个相加，可以表示出$R_i\sim R_i+2^{p+1}-1$之间的任何整数，而根据$R_i$的定义，$R_i+2^{p+1}-1=C_i$，因此$2^0,2^1,...,2^p,R_i$选出若干个相加可以表示出$R_i\sim C_i$之间的任何整数。

综上所述，我们可以把数量$C_i$的第$i$种物品拆成$p+2$个物品，它们的体积分别为：
$$2^0\ast V_i,2^1\ast V_i,..,2^p\ast V_i,R_i\ast V_i$$
这$p+2$个物品可以凑成$0\sim C_i\ast V_i$之间所有能被$V_i$整除的数，并且不能凑成大于$C_i\ast V_i$的数。这等价于原问题种体积为$V_i$的物品可以使用$0\sim C_i$次。该方法仅把每种物品拆成了$O(log{C}_i)$个，效率较高。

for(int i=1;i<=n;++i)
{
    int sum=c[i];
    for(int j=1;j<=sum;j*=2)
    {
        for(int k=m;k>=j*v[i];--k)
            f[k]=max(f[k],f[k-j*v[i]]+j*w[i]);
        sum-=j;
	}
    if(sum>0)
    {
        int j=sum;
        for(int k=m;k>=j*v[i];--k)
            f[k]=max(f[k],f[k-j*v[i]]+j*w[i]);
    }
}

单调队列

使用单调队列优化的动态规划算法求解多重背包问题，时间复杂度可以进一步降低到$O(NM)$，与0/1背包和完全背包中的DP算法的效率相同，我们将在0x59节中进行讲解。

4.分组背包

分组背包问题的模型如下：

给定$N$组物品，其中第$i$组有$C_i$个物品。第$i$组的第$j$个物品的体积为$V_{ij}$，价值为$W_{ij}$。有一容积为$M$的背包，要求选择若干个物品放入背包，使得每组至多选择一个物品并且物品总体积不超过$M$的前提下，物品的价值总和最大。

仍然先考虑原始线性DP的做法。为了满足“每组至多选择一个物品”，很自然的想法就是利用“阶段”线性增长的特征，把“物品组数”作为DP的“阶段”，只要使用了一个第$i$组的物品，就从第$i$个阶段的状态转移到第$i+1$个阶段的状态。设$F[i,j]$表示从前$i$组中选出物品放入总体积为$j$的背包中，物品的最大价值和。
$$F[i,j]=\max \{\begin{array}{l}F[i-1,j],不选第i组的物品\\ \underset{1\le k\le C_i}{\max }F[i-1,j-V_{ik}]+W_{ik},选第i组的某个物品k\end{array}$$
与前面几个背包模型一样，我们可以省略$F$数组的第一维，用$j$的倒序循环来控制“阶段$i$”的状态只能从“阶段$i-1$”转移而来。

memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=m;j>=0;j--)
        for(int k=1;k<=c[i];++k)
            if(j>=v[i][k])
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);

除了倒序循环$j$之外，对于每一组内$c[i]$个物品的循环$k$应该放在$j$的内层。从背包的角度看，这是因为每组内至多选择一个物品，若把$k$置于$j$的外层，就会类似多重背包，每组物品在$F$数组的转移上会产生累积，最终可以选择超过一个物品。从动态规划的角度，$i$是“阶段”，$i$与$j$共同构成“状态”，而$k$是“决策”——在第$i$组内使用哪一个物品，这三者的顺序绝对不能混淆。

另外，分组背包是许多树形DP问题中状态转移的基本模型，在0x54节中将进一步接触到它。

本节中，我们介绍了0/1背包、完全背包、多重背包和分组背包。除了以传统的线性DP求解之外，我们还尽量缩减了空间复杂度，省去了“阶段”的存储，用适当的循环顺序控制状态在原有基础上直接转移和累积。