微分方程算子法(计算特解的利器)

微分方程

需要学会求解的类型

  1. 直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程

  2. 特解十分难算的高阶常系数线性微分方程

  3. 可化简的其它类型

基础概念

齐次方程和非齐次方程

a 1 ∗ y ( n ) + a 2 ∗ y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ∗ y ′ + a n ∗ y = 0 a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= 0 a1y(n)+a2y(n1)+...+an1y+any=0,相当于线性代数里面的 A X = 0 AX=0 AX=0

其中, A n = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A_{n} =(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) An=(a1,a2an) X = ( y ( n ) , y ( n − 1 ) , ⋯   , y ) T X = (y^{(n)},y^{(n-1)},\cdots,y)^T X=(y(n),y(n1),,y)T

微分方程是解出 X X X,但由于通过 y y y 可以求出对应的 y ′ , y ′ ′ , . . . , y ( n ) y',y'',...,y^{(n)} y,y′′,...,y(n),故解微分方程的目的就是解出 y y y 的表达式

a 1 ∗ y ( n ) + a 2 ∗ y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ∗ y ′ + a n ∗ y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + . . . + f m ( x ) a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x) a1y(n)+a2y(n1)+...+an1y+any=f1(x)+f2(x)+...+fm(x) 相当于线性代数里面的 A X = β AX=\beta AX=β,其中 β = g ( x ) = f 1 ( x ) + . . . + f m ( x ) \beta = g(x) =f_1(x)+...+f_m(x) β=g(x)=f1(x)+...+fm(x)

通解、特解、全部解

  • 特解:符合方程等式成立的任意一个解
  • 通解:符合方程等式成立的一组解
  • 全部解:任何一个使方程等式成立的解构成的集合
  • 奇解:在方程的等式变形过程中可能会将 y 放到分母位置上,从而导致丢掉部分解,丢掉的这部分解称为奇解。全部解 = 奇解 + 通解,所以不用纠结求解通解的时候会丢掉解的问题,放心大胆的变换。

线性和非线性

线性方程:例如从小学开始学习的 3 x + 1 = 4 3x+1=4 3x+1=4和线性方程组 { 3 x + 5 y = 1 7 x − 2 y = 2 \begin{cases}3x + 5y &= 1 \\7x - 2y &= 2\end{cases} {3x+5y7x2y=1=2
非线性方程:高中解的最多的 x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+ 2x + 1 = 0 x2+2x+1=0或解析几何中的熟悉的联立 { x 2 4 + y 2 3 = 1 x − 2 y = 2 \begin{cases}\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} &= 1 \\x - 2y &= 2\end{cases} {4x2+3y2x2y=1=2

线性方程是指待求解的变量的最高幂次 ≤ \leq 1的方程,而非线性方程中待求解变量的最高幂次 > > > 1。

所谓待求解的变量和自己的选择有关,例如 y ′ + x 2 ∗ y = x y' + x^2*y = x y+x2y=x这里选择求解 y y y,那 x 2 x^2 x2作为系数,对于 y y y而言的所有变量的幂次都没有超过1,所以是线性方程。

一般情况下非线性方程不可解,考察的都是线性方程

小结

  • 齐次和非齐次是和其它概念(线性、非线性)可以并存的,例如 y ′ + p ( x ) ∗ y = q ( x ) y' + p(x)*y=q(x) y+p(x)y=q(x)一阶线性非齐次微分方程,使用朴实无华的公式法即可解决。而 y ′ + p ( x ) ∗ y = 0 y' + p(x)*y=0 y+p(x)y=0 为一阶线性齐次方程,也就是可分离变量类型的微分方程
  • 齐次方程的通解 = k k k × \times × 齐次方程的非零特解,证明如下:
    1. X 1 ∗ X_1^* X1 是齐次方程 A 1 X = 0 A_1X=0 A1X=0 的一个特解,且 X 1 ∗ ≠ 0 X_1^* \neq 0 X1=0,则满足 A 1 X 1 ∗ = 0 A_1X_1^*=0 A1X1=0
    2. 由于 A 1 ( k X 1 ∗ ) = k A 1 X 1 ∗ = k × 0 = 0 A_1(kX_1^*)=k A_1X_1^*=k\times0=0 A1(kX1)=kA1X1=k×0=0,故 k X 1 ∗ kX_1^* kX1 仍然为 A 1 X = 0 A_1X=0 A1X=0 的解
  • 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解,证明如下:
  1. Y 2 ∗ Y_2^* Y2 是非齐次方程 A 2 Y = β A_2Y = \beta A2Y=β 的一个特解 ,则满足 A 2 Y 2 ∗ = β A_2Y_2^* = \beta A2Y2=β
  2. 与之对应的齐次方程 A 2 Y = 0 A_2Y=0 A2Y=0 的通解 Y 1 = k 1 X 1 ∗ + k 2 X 2 ∗ + . . . + k n X n ∗ Y_1=k_1X_1^*+k_2X_2^*+...+k_nX_n^* Y1=k1X1+k2X2+...+knXn
  3. 因为 A 2 ( Y 1 + Y 2 ∗ ) = A 2 Y 1 + A 2 Y 2 ∗ = 0 + β = β A_2(Y_1 + Y_2^*)=A_2Y_1+A_2Y_2^*=0+\beta=\beta A2(Y1+Y2)=A2Y1+A2Y2=0+β=β,所以 Y 1 + Y 2 ∗ Y_1+Y_2^* Y1+Y2 为非齐次方程的通解


微分方程解法总结

  • 一阶微分方程:公式法左右两边同乘 e p ( x ) e^{p(x)} ep(x)

  • 化简方法:换元法xy位置互换

    xy位置互换个人认为不属于一种具体的方法,而是一种思想,要注意可能会和换元法结合使用

  • 高阶常系数线性微分方程:解多项式(求齐次通解) + 算子法(求非齐次特解)



换元法

  • u = y x → y = u x → d y = u ∗ d x + x ∗ d u u = \frac{y}{x}\rightarrow y=ux \rightarrow dy = u*dx + x*du u=xyy=uxdy=udx+xdu
  • u = a x + b y + c → d u = a ∗ d x + b ∗ d y u=ax+by+c\rightarrow du = a*dx + b*dy u=ax+by+cdu=adx+bdy
  • u = y ′ → y ′ ′ = d y ′ d x = d u d x = { u ′ , 缺 y 可化简型 ; d u d y ∗ d y d x = d u d y ∗ u , 缺 x 可化简型 ; u=y' \rightarrow y'' = \frac{dy'}{dx} = \frac{du}{dx}=\begin{cases} u' & ,缺y可化简型; \\ \frac{du}{dy}*\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}*u &,缺x可化简型; \end{cases} u=yy′′=dxdy=dxdu={udydudxdy=dyduu,y可化简型;,x可化简型;
  • u = y 1 − n 或 1 y n − 1 → d u = 1 1 − n ∗ y − n          伯努利方程 u=y^{1-n}或\frac{1}{y^{n-1}}\rightarrow du=\frac{1}{1-n}*y^{-n} \space\space\space\space\space\space\space\space\space伯努利方程 u=y1nyn11du=1n1yn         伯努利方程
  • u = = { I n x , x > 0 I n ( − x ) , x < 0        欧拉方程 u==\begin{cases}Inx &,x>0\\ In(-x)&,x<0\end{cases}\space\space\space\space\space\space\space欧拉方程 u=={InxIn(x)x>0x<0       欧拉方程


算子法

算子法的作用是求高阶非齐次线性微分方程的特解,即 y ∗ y^* y

首先约定两个符号: D D D(求导)和 1 D \frac{1}{D} D1(积分)

此外 ( D + 1 ) y (D+1)y (D+1)y 表示 D y + y Dy+y Dy+y ,即 y ′ + y y'+y y+y,而 1 D + 1 y \frac{1}{D+1}y D+11y 没有特别含义

计算特解的5种类型

  1. 指数函数 f ( x ) = e k x f(x) = e^{kx} f(x)=ekx
  2. 三角函数 f ( x ) = s i n ( a x ) f(x) = sin(ax) f(x)=sin(ax)
  3. 多项式 P n ( x ) = x n + x n − 1 + . . . + x P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ... + x Pn(x)=xn+xn1+...+x
  4. 指数函数 * 三角函数 f ( x ) = e k x ∗ s i n ( a x ) f(x) = e^{kx}*sin{(ax)} f(x)=ekxsin(ax) 和指数函数 * 多项式 f ( x ) = e k x ∗ P n ( x ) f(x)=e^{kx}*P_n(x) f(x)=ekxPn(x)
  5. 三角函数 * 多项式 f ( x ) = s i n ( a x ) ∗ P n ( x ) f(x) = sin(ax)*P_n(x) f(x)=sin(ax)Pn(x)

类型1: f ( x ) = e k x f(x) = e^{kx} f(x)=ekx

解决策略

  1. 将高阶导 y ( n ) y^{(n)} y(n)写成 D n D^{n} Dn,解出 y ∗ = 1 F ( D ) f ( x ) y^* =\frac{1}{F(D)}f(x) y=F(D)1f(x)
  2. D = k D = k D=k
  3. 如果不能令 D = k D=k D=k,向前提取 x x x后,对 D D D求导后再令

例题1

y ′ ′ − 4 y ′ + 3 y = 2 e ( 2 x ) y''- 4y' + 3y = 2e^{(2x)} y′′4y+3y=2e(2x)

解析:

D 2 y − 4 D y + 3 y = 2 e ( 2 x ) D^2y-4Dy+3y=2e^{(2x)} D2y4Dy+3y=2e(2x)

y ∗ = 1 ( D 2 − 4 D + 3 ) 2 e ( 2 x )      ( y ∗ 只是表示特解 ) y^*= \frac{1}{(D^2-4D+3)} 2e^{(2x)}\space\space\space\space (y^*只是表示特解) y=(D24D+3)12e(2x)    (y只是表示特解)

常数可以直接提前,即 y ∗ = 2 1 ( D 2 − 4 D + 3 ) e ( 2 x ) 常数可以直接提前,即y^*= 2\frac{1}{(D^2-4D+3)} e^{(2x)} 常数可以直接提前,即y=2(D24D+3)1e(2x)

D = k = 2 , y ∗ = 2 ∗ 1 2 2 − 4 ∗ 2 + 3 e ( 2 x ) = − 2 e ( 2 x ) D=k=2,y^* = 2*\frac{1}{2^2-4*2+3}e^{(2x)} = -2e^{(2x)} D=k=2y=22242+31e(2x)=2e(2x)

例题2

y ′ ′ + 2 y ′ − 3 y = e ( − 3 x ) y'' + 2y' -3y = e^{(-3x)} y′′+2y3y=e(3x)

解析:

D 2 y + 2 D y − 3 y = e ( − 3 x ) D^2y+2Dy-3y=e^{(-3x)} D2y+2Dy3y=e(3x)

y ∗ = 1 ( D 2 + 2 D − 3 ) e ( − 3 x ) y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)} y=(D2+2D3)1e(3x)

D = k = − 3 ,此时 y ∗ = 1 9 − 6 − 3 e ( − 3 x ) , 此时分母为 0 ,即不可令 D = k D=k=-3,此时y^* = \frac{1}{9-6-3}e^{(-3x)},此时分母为0,即不可令D=k D=k=3,此时y=9631e(3x),此时分母为0,即不可令D=k

所以此时 y ∗ = 1 ( D 2 + 2 D − 3 ) e ( − 3 x ) = 对 F ( D ) 求导 x 1 2 D + 2 e ( − 3 x ) = x 1 − 4 e ( − 3 x ) = − 1 4 x e ( − 3 x ) y^*= \frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}\xlongequal{对F(D)求导} x\frac{1}{2D+2}e^{(-3x)} = x\frac{1}{-4} e^{(-3x)} = -\frac{1}{4}xe^{(-3x)} y=(D2+2D3)1e(3x)F(D)求导 x2D+21e(3x)=x41e(3x)=41xe(3x)

类型2: f ( x ) = s i n ( a x ) 或 c o s ( a x ) f(x) = sin(ax)或cos(ax) f(x)=sin(ax)cos(ax)

解决策略

  1. 能令 D 2 = − a 2 D^2 = -a^2 D2=a2则先令
  2. 没有 D 2 D^2 D2,则分子分母同乘多项式凑出 D 2 D^2 D2后再令
  3. D 2 D^2 D2但是不能令,也就是令完之后分母为0,一样提取 x x x后求导再尝试

例题3

y ′ ′ − y = s i n x y'' - y = sinx y′′y=sinx

解析:
y ∗ = 1 D 2 − 1 s i n x = 1 ( − 1 ) − 1 s i n x = − 1 2 s i n x y^*= \frac{1}{D^2-1} sinx=\frac{1}{(-1)-1}sinx=-\frac{1}{2}sinx y=D211sinx=(1)11sinx=21sinx

例题4

y ′ ′ + 4 y = c o s ( 2 x ) y'' + 4y = cos(2x) y′′+4y=cos(2x)

解析:

因为 y ∗ = 1 D 2 + 4 c o s ( 2 x ) = 1 ( − 4 ) + 4 c o s ( 2 x ) y^*= \frac{1}{D^2+4} cos(2x)=\frac{1}{(-4)+4}cos(2x) y=D2+41cos(2x)=(4)+41cos(2x)

所以 y ∗ = x 1 2 D c o s ( 2 x ) = 常数可提取 x 2 1 D c o s ( 2 x ) = 1 D f ( x ) 表示对 f ( x ) 进行积分 x ∗ s i n ( 2 x ) 4 所以y^* = x\frac{1}{2D}cos(2x) \xlongequal{常数可提取} \frac{x}{2}\frac{1}{D}cos(2x)\xlongequal{\frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}\frac{x*sin(2x)}{4} 所以y=x2D1cos(2x)常数可提取 2xD1cos(2x)D1f(x)表示对f(x)进行积分 4xsin(2x)

例题5

y ′ ′ − 6 y ′ + 9 y = c o s x y'' - 6y' + 9y = cosx y′′6y+9y=cosx

解析:

y ∗ = 1 D 2 − 6 D + 9 c o s x = 能令则令 1 8 − 6 D c o s x = 没有要凑,同乘多项式通分 8 + 6 D 64 − 36 D 2 c o s x = 能令则令 1 100 ( 8 + 6 D ) c o s x y^* = \frac{1}{D^2 - 6D + 9}cosx\xlongequal{能令则令} \frac{1}{8-6D}cosx\xlongequal{没有要凑,同乘多项式通分}\frac{8 + 6D}{64 - 36D^2}cosx\xlongequal{能令则令}\frac{1}{100}(8+6D)cosx y=D26D+91cosx能令则令 86D1cosx没有要凑,同乘多项式通分 6436D28+6Dcosx能令则令 1001(8+6D)cosx

= 多项式乘法 , D f ( x ) 表示求导 1 100 ( 8 ∗ c o s x − 6 s i n x ) \xlongequal{多项式乘法,Df(x)表示求导}\frac{1}{100}(8*cosx -6sinx) 多项式乘法,Df(x)表示求导 1001(8cosx6sinx)

类型3: f ( x ) = P n ( x ) 多项式 f(x) = P_n(x)多项式 f(x)=Pn(x)多项式

解决策略

使用无穷级数 1 1 − q = 1 + q + q 2 + . . . + q n \frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+...+q^n 1q1=1+q+q2+...+qn,展开到需要的阶数即可

例题6

y ′ ′ + y = − 2 x y'' + y = -2x y′′+y=2x

解析:

y ∗ = 1 D 2 + 1 ( − 2 x ) = 令 q = − D 2 ( 1 − D 2 + . . . ) ( − 2 x ) = − 2 x 这里的多项式为 1 阶,实际上只需要展开到 D 即可 , 因为 D 2 x = 0 y^* = \frac{1}{D^2 + 1}(-2x)\xlongequal{令q=-D^2}(1-D^2+...)(-2x)=-2x 这里的多项式为1阶,实际上只需要展开到D即可,因为D^2x=0 y=D2+11(2x)q=D2 (1D2+...)(2x)=2x这里的多项式为1阶,实际上只需要展开到D即可,因为D2x=0

例题7

y ′ ′ + y ′ = x 2 y'' + y' = x^2 y′′+y=x2

解析:

y ∗ = 1 D 2 + D x 2 y^* = \frac{1}{D^2+D}x^2 y=D2+D1x2

此时分母中并没有 1 , 所以缺啥补啥 , 用求极限常见的思路 f ( x ) = f ( x ) + 1 − 1 此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x) = f(x)+1-1 此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x)=f(x)+11

得到 y ∗ = 1 1 − ( 1 − D 2 − D ) x 2 = [ 1 + ( 1 − D 2 − D ) + ( 1 − D 2 − D ) 2 + . . . + ( 1 − D 2 − D ) n ] x 2 得到y^* = \frac{1}{1-(1-D^2-D)}x^2 =[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D)^2+...+(1-D^2-D)^n]x^2 得到y=1(1D2D)1x2=[1+(1D2D)+(1D2D)2+...+(1D2D)n]x2

可以看到即使对于 ( 1 − D 2 − D ) n 项,展开之后仍然可以找到 1 + k 1 D + k 2 D 2 , 因此不能这么展开 , 否则无法终止 可以看到即使对于(1-D^2-D)^n项,展开之后仍然可以找到1+k_1D+k_2D^2,因此不能这么展开,否则无法终止 可以看到即使对于(1D2D)n项,展开之后仍然可以找到1+k1D+k2D2,因此不能这么展开,否则无法终止

另外一种凑 1 的方法就是因式分解 1 D 2 + D x 2 = 1 D ( D + 1 ) x 2 = 1 D ∗ 1 D + 1 x 2 另外一种凑1的方法就是因式分解\frac{1}{D^2+D}x^2 = \frac{1}{D(D+1)}x^2 = \frac{1}{D}*\frac{1}{D+1}x^2 另外一种凑1的方法就是因式分解D2+D1x2=D(D+1)1x2=D1D+11x2

之后再处理 1 D + 1 x 2 = ( 1 − D + D 2 ) x 2 = x 2 − 2 x + 2 ,最后处理 1 D ( x 2 − 2 x + 2 ) = 1 3 x 3 − x 2 + 2 x 之后再处理\frac{1}{D+1}x^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2,最后处理\frac{1}{D}(x^2-2x+2)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x 之后再处理D+11x2=(1D+D2)x2=x22x+2,最后处理D1(x22x+2)=31x3x2+2x

类型4: f ( x ) = e k x ∗ g ( x ) f(x) = e^{kx}*g(x) f(x)=ekxg(x)

解决策略

移位公式: 1 F ( D ) e k x g ( x ) = e k x 1 F ( D + k ) g ( x ) \frac{1}{F(D)}e^{kx}g(x) = e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}g(x) F(D)1ekxg(x)=ekxF(D+k)1g(x)

之后按照 g ( x ) g(x) g(x) 的类型进行求解即可,属于类型 2 和类型 3 里面重复的内容

类型5: f ( x ) = P n ( x ) ∗ s i n ( a x ) 或 P n ( x ) ∗ c o s ( a x ) f(x) = P_n(x)*sin(ax)或P_n(x)*cos(ax) f(x)=Pn(x)sin(ax)Pn(x)cos(ax)

解决策略

欧拉公式: e i x = c o s x + i ∗ s i n x e^{ix} = cosx + i*sinx eix=cosx+isinx

1 F ( D ) [ P n ( x ) s i n ( a x ) ] = I m { 1 F ( D ) [ e ( i ∗ a x ) ∗ P n ( x ) ] } \frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)] =Im \{\frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x)]\} F(D)1[Pn(x)sin(ax)]=Im{F(D)1[e(iax)Pn(x)]}

1 F ( D ) [ e ( i ∗ a x ) ∗ P n ( x ) = 移位公式 e ( i ∗ a x ) 1 F ( D + i ∗ a x ) P n ( x ) , 同上 \frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x) \xlongequal{移位公式}e^{(i*ax)}\frac{1}{F(D+i*ax)}P_n(x),同上 F(D)1[e(iax)Pn(x)移位公式 e(iax)F(D+iax)1Pn(x),同上

I m { } Im\{\} Im{} 表示对计算结果取虚部,如果是计算 cos(ax),那么就对最终结果取实部。

你可能感兴趣的:(#,高等数学,学习,考研)