中国剩余定理CRT

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作用

用于求模数两两互质的线性同余方程组，若不互质则不存在解。
《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？这就是经典的剩余定理问题，也是我们小学题目：三个三个数余二，五个五个数余三，七个七个数余二，求这个数是几？$$\{\begin{array}{c}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$$

更多详细介绍请看VCR: 中国剩余定理的由来与求解过程。

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证明

请看题解：https://www.acwing.com/solution/content/3539/ 和https://www.acwing.com/solution/content/23099/

思路就是：先读入一个式子，然后以这个式子为基准，再读入一个式子，找他们的通解，将式子更新为他们的通解，然后再读入，继续找通解，直到读完。

证明过程太纷繁复杂，蒟蒻的我选择直接记公式：

• 每次更新完，式子变为：$$x=k\ast lcm(a_1,a_2)+k_1\ast a_1+m_1=k\ast a_0+m_0$$
  所以我们需要更新：$$\begin{gathered} a_1=lcm(a_1,a_2)=a_1/d\ast a_2 \\ {m}_1=k_1\ast a_1+m_1 \end{gathered}$$
  在这之前我们需要将 $k_1$ 的值更新出来：$$k_1=((m2-m1)/d\ast k_1)\%(a2/d)$$ 就是求最小公倍数，然后取模求最小解。

  到最后，我们求的 $m_1$ 即为 $x$，求个模找最小即可。

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AcWing 204. 表达整数的奇怪方式

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/948/

CODE

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long ll;  // 定义长整型别名为ll

// 扩展欧几里得算法，求解ax + by = gcd(a, b)的一组解
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(b == 0){  	// 当b为0时，x为1，y为0
        x = 1, y = 0;
        return a;  // 返回最大公约数
    }
    
    ll x1, y1;
    ll d = exgcd(b, a % b, x1, y1);  // 递归求解
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;  	// 更新x和y
    return d;  	// 返回最大公约数
}

int main(){
    int n;  // 定义整型变量n
    scanf("%d", &n);  // 输入n
    
    ll a1, m1, x = 0;  // 定义长整型变量a1, m1, x，并初始化x为0
    cin >> a1 >> m1;  	// 输入a1和m1
    
    for(int i = 0; i < n - 1; ++i){
        ll a2, m2, k1, k2;  // 定义长整型变量a2, m2, k1, k2
        cin >> a2 >> m2;  	// 输入a2和m2
        
        ll d = exgcd(a1, a2, k1, k2);  // 调用扩展欧几里得算法求解最大公约数
        if((m1 - m2) % d){  // 如果(m1 - m2)不能被d整除
            x = -1;  	// x赋值为-1
            break;  	// 跳出循环
        }
        
        k1 = k1 * (m2 - m1) / d;  // 更新k1
        ll t = abs(a2 / d);  	// 定义长整型变量t，并赋值为a2/d的绝对值
        k1 = (k1 % t + t) % t;  // 更新k1
        m1 = k1 * a1 + m1;  	// 更新m1
        a1 = abs(a1 * a2 / d);  // 更新a1
    }
    
    if(x != -1) x = (m1 % a1 + a1) % a1;  // 如果x不等于-1，则更新x
    
    cout << x << endl;  // 输出x
}

真的nm太抽象了吧，这玩意儿是人学的？我选择直接背，以我的水平考到了也做不出来。