高数笔记02：导数、微分、中值定理

 

图源：文心一言

本文是我学习高等数学第二、三章导数、微分、中值定理的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~

• 第1版：查资料、画导图、归纳题型~

参考资料1：《高等数学》同济大学数学系编

参考资料2：《高等数学 基础篇》武忠祥

真题截图：2023考研数学复习辅导 历年考研数学真题 文都考研网 (wendu.com)

审核：BING AI

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目录

目录

思维导图

导数

选填题目

计算题目 

微分中值定理

基本介绍

证明题目

函数的应用

选填题目

 解答题目

结语

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思维导图

• 思维导图为整理同济教材、武老师基础教材所列导数、微分、中值定理的内容，整理有点累哦，有兴趣复习概念的同学可以简单浏览一下~

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导数

选填题目

选填题目类型1：导数与微分的概念，分段函数或初等函数是否存在极限

• 计算法：求左导数与右导数，注意求闭区间端点导数可以使用求导公式，但求开区间端点导数即领域点导数时，需要使用左、右导数定义公式。
  • 以增量与定点计算的公式：

  • 以函数值与定点计算的公式：

 例题 【2021年 数一 1题】

 选填题目类型2：连续、可导、可微的关系

• 一元函数，可导与可微能够互推，证明简述如下：
  • 因为：
  • 所以：
  • 注意：公式中的与都是无穷小量，表示近似~
• 一元函数，连续是可导、可微的前提条件；注意，导数存在不一定是可导，例如可去间断点的左极限等于右极限，只能说该点导数存在，不能说可导哦~
  • 导数存在的前提条件：该点左、右导数存在且相等；
  • 可导的前提条件：该点导数存在且连续；
• 连续不可推可导，同理不可推可微，举栗：在。

 图源YY的上上签：【高等数学】函数连续、可导、可微_YY的上上签

 例题【2020年 数一 2题】

 答谢：感谢评论区I Like Doraemon的指正，这道题目确实是选C不是B哈！！‍️‍️

• A、B肯定是不能选的，因为它犯了导数存在就是可导的错误，需要增加连续作为前提；
• C是考试的正确答案，这个等式是导数的高阶无穷小，可以选；
• D这个答案有歧义，在武老师的书上分母是而不是，很多网上真题的题目分母是，解答也是按照作为分母去验证的。那我们讨论两种情况：
  • 假设题目分母是时，极限变形，可导表示前面的分式结果存在，后面的分式是无穷，所以没办法保证是无穷，例如f(x)=x时，整个分式就无穷了~
  • 假设题目分母是时，个人觉得也不能选，，可导表示前面的分式结果存在，且与是等价无穷小，且正负号会带来变化，例如：
    • ，经过0点，导数值存在；
    • ，用等价无穷小化简，e^x-1~x，结果为1
    • ，在h(x)的基础上，因正负号不同，结果为+1和-1；
    • ，因为比是高阶无穷小，所以结果为0；
    • 我们上图表示：

当然，如果我再次说错了欢迎小伙伴在评论区批评留言，博主真的超级感谢！！

计算题目 

 计算题目类型1，显函数求导数：

基本初等函数的导数公式

• ；
• ；
• ，特别地；
• ，特别地；
• ，；
• ，；
• ，；
• ，；
• ，；

有理运算法则

• ；
• ；
• ，

高阶导数有理运算法则

• ；
• ；    //展开公式对应二项式定理

‍️‍️以下是公式证明简介，个人整理便于记忆公式~ 

基本初等函数的导数公式证明简述

推导公式是这个：，注意是无穷小；话说忘记无穷小公式的同学可以看向本系列第一篇博文~

高数笔记01：函数、极限、连续_梅头脑_的博客-CSDN博客

• ；
  • ；
• ；
  • 为正整数n时，

    • 代入公式，二项式展开

    • 

    • 其中被消掉，，其余均乘无穷小的正整数幂的项为0；

  • 为实数时，

    • 代入，提公因式：

    • 等价无穷小化简：

• ；

  • 代入公式，提公因式：

  • 等价无穷小公式化简：​​​​​​

• ，特别地；

  • 代入，对数性质化简：

  • 等价无穷小：

• ，；

  • 代入公式，和差化积展开：

  • 

  • 前项为 零x无穷小=0，后项等价无穷小公式化简：

  • 围观大佬们的花式解法，打开崭新世界：sinx求导为什么是cosx？ - 知乎

• ，；

  • 化为sinx/cosx，采用商的求导法则可证：

  • 

• ，；

  • 化为1/cosx，采用商的求导法则可证：

  • 

• ，；

  • x=siny，利用反函数求导法则可证：

  • 

• ，；

  • x=tany，利用反函数求导法则可证：

  • 

 例题【2015年 数二 10题】高阶函数求导

  例题【2022年 数三 13题】复合函数求导

 计算题目类型2，隐函数求导数： 

• 【直角方程】
  • 普通函数：恒等式左右两边求导，得到；
  • 幂指函数：可以化为对数求导。
• 【参数方程】

  • 一阶可导：根据复合函数与反函数的求导法则，

  • 二阶可导：根据复合函数与反函数的求导法则，

  • 注意：参数方程是近年的高频考点，求二阶导数容易只写，遗漏；因为这是对t求导二阶导数，而不是对x求二阶导数，所以在商导时要记住分母x的方程也含有t哦~~

 例题【2020年 数一 13题】参数函数求导

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微分中值定理

基本介绍

这里省略复杂的定义[毕竟已经在思维导图中写过一遍啦]，借图快速复习~

图源Curren：高数第3章 微分中值定理及导数应用 - 知乎 (zhihu.com)

罗尔中值定理简述：区间端点A、B相等，连续曲线f(x)，区间内总有1点[记为]的切线斜率=0；

拉格朗日中值定理简述：区间端点A、B，连续曲线f(x)，区间内总有1点[记为]的切线斜率为=区间端点AB连线斜率；

柯西中值定理简述：可以近似看作参数方程版本的拉格朗日中值定理；当F(x)=x时，柯西中值定理便转化为拉格朗日中值定理~

证明题目

证明题目类型1，求方程的根

• 证明有根存在：
  • 适合方程系数已知或可以估算f(x)的极限正负值：找出方程f(a)>0及f(b)<0的两点，根据零点定理可证明方程在(a,b)有根；[零点定理在本系列第一章有介绍]
  • 适合方程系数未知或可以推算F(x)在两点处为零：记F’(x)=f(x)，根据题目条件，找到a、b两点使F(a)=F(b)，根据罗尔定理可证明F’(x)即f(x)在(a,b)有根；
• 证明根的个数：
  • 将方程记为函数，求导，解出f’(x)=0的点，根据方程单调性判定根的个数~

证明题目类型2，证明不等式

• 两个常见结论
  • ，在证明第一个重要极限时采用几何法证明：
    • 画1/4单位圆，OA的长度为1，设角度DOB为x，则弧线AC根据弧长公式为x，AB为sinx，AD为tanx[数学中的tan是什么意思？_百度知道 (baidu.com)]，由S▲OBA＜S扇形OBA
    • 图源cabrnary：两个重要极限- 知乎 (zhihu.com)

      

  • ，证明过程如下：
    • 根据题目条件，可以设公式，并能够确定区间；

    • 列拉格朗日中值定理的等式：，并同时可求出；

    • 将函数值，导数值代回拉格朗日中值定理的等式：

    • 代入端点值，原题可证。

例题【2022年 数一 4题】

证明题目类型3，中值定理证明

• 构造辅助函数，通过证明辅助函数的中值定理来间接证明原函数的中值定理；
• 采用反证法，假设结论不成立，然后推出矛盾，从而证明结论成立；
• 利用函数的单调性、凸凹性、极值等性质，结合中值定理的条件进行证明；
• 将原函数进行泰勒展开，利用展开式中的多项式性质，结合中值定理的条件进行证明。

例题【2013年 数三 10题】

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函数的应用

选填题目

选填题目类型1：计算渐近线

• 水平渐近线：
• 铅直渐近线：

• 斜渐近线：

例题【2023年 数一 1题】计算渐近线

选填题目类型2：导数的几何意义：切线方程、法线方程

• 计算切线斜率与法线斜率，然后使用点斜式列直接方程：
  • 直角坐标：

    • 斜线斜率：

    • 法线斜率：

  • 参数方程：

    • 切线斜率：

  • 极坐标方程：和我一样傻傻不会求极坐标方程的小伙伴可以转参数方程

    • 转化方程：

• 计算弧长与曲率公式：

  

 解答题目

 解答题目类型1：计算驻点、拐点、最值点，证明不等式

•  单调区间：

• 极值：

• 最值：

图源无忧文档： 导数应用之极值与最值 学案_word文档在线阅读与下载_无忧文档

• 凹凸区间：

 图源360：函数的凹凸性_360百科

 例题【2022年 数一 20题】证明不等式

这个题对我来说还是有难度的：根据题目条件写出F(x)，求导，这个可能大部分小伙伴都想得到；抽象函数使用拉格朗日定理证明端点值＜区间值，推出F’(x)<0，感觉这个就需要一点技巧性了~

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结语

文末分享我在这篇博文中用到的宝藏网页——

• 公示预览：在线LaTeX公式编辑器-编辑器 (latexlive.com)
• 函数绘制：图形计算器 - GeoGebra
• 封面生成：AI杂谈04 与Chat AI沟通代码与绘画的提词_梅头脑_的博客-CSDN博客

本系列的其它博文：

•  高数笔记01：函数、极限、连续_梅头脑_的博客-CSDN博客

博文到此结束，写得模糊或者有误之处，欢迎小伙伴留言讨论与批评，督促博主优化内容{例如有错误、难理解、缺例题}等~‍️

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