数列分块及莫队算法分块大小详解

一. 前言

众所周知，数列分块和莫队是非常优雅的暴力算法。

那么，我们如何分才能使时间复杂度最优呢？

请看以下证明。

二. 数列分块

数列分块的最佳大小为 $\sqrt{n}$

设 $n$ 与 $m$ 同一数量级。

设块长为 $s$ ， 序列长度 $n$ 那么块的总数为 $\frac{n}{s}$，每次操作时间复杂度为 $O(n\cdot s)$。

$=s\cdot \frac{n}{s}\cdot s$

$=s^2\cdot \frac{n}{s}$

我们要使该数尽量小，根据小学二年级的数学知识可得：

当且仅当 $\frac{n}{s}=s$时，$s^2\cdot \frac{n}{s}$最小，可得$s^2=n$，$s=\sqrt{n}$

三. 普通莫队

普通莫队的最佳大小为 $\sqrt{n}$

我们不妨设块的大小为 $s$ ，每个块的询问次数为 $q_i$ ，序列长度为 $n$ ，询问总次数为 $m$ 。那么块的总数就是 $\frac{n}{s}$ ，对于块 $i$ 来说，其复杂度为 $q_i\cdot s+n$ 。
那么总复杂度为 ${\sum }_{i=1}^{n/s}{q}_i\cdot s+n=ms+n\cdot \frac{n}{s}$。因为一般 $n$ 和 $m$ 都是等数量级的，我们可以大致忽略其大小差异，所以总复杂度变为 $n\cdot s+n^2\cdot \frac{1}{s}$ 。
利用基本不等式可得当 $n\cdot s=n^2\cdot \frac{1}{s}$ 即 $s=\sqrt{n}$ 时，原式有最小值 $\sqrt{n}$。

四. 带修莫队

带修莫队最佳大小为 $n^{\frac{2}{3}}$

设 $n=m$ ，则有$n\cdot s+\frac{n^3}{s^2}\ge \sqrt{\frac{n^4}{s}}$ ，当且仅当 $n\cdot s=\frac{n^3}{s^2}\Rightarrow s=n^{\frac{2}{3}}$时相等。此时 $\sqrt{\frac{n^4}{s}}=\sqrt{n^{\frac{10}{3}}}=n^{\frac{5}{3}}$