笔记：数学建模01——建模过程

2021年7月16日

资料：《A First Course in Mathematical Modeling》（Fifth Edition）

1.引言

• 在数学建模的过程中，我们希望对该行为的未来做出预测并分析各种处境对该行为的影响。
• 一个系统就是由一些有规律的相互作用或存在内在依赖关系联结在一起的对象的集合体。
• 了解一个特殊的系统是怎么工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感，预测系统会发生什么样的变化以及何时变化，是建模者的任务。
• 为了完成这些任务，我们需要按照一定的建模过程来完成数学建模。

2.数学模型

• 我们把数学模型定义为为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，包括数学结构、图示、符号、模拟和实验结构

• 模型具有以下性质：

  • 保真性：模型表现现实的精确性
  • 成本：建模过程的各种成本
  • 灵活性:当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型诸多条件的能力。

2.1 模型的构建

• 第一步：识别问题
  • 通常必须从大量的数据中搜索以及识别研究问题的某些特定方面。
  • 此外，考虑到要把口头陈述翻译为数学表示，因此在阐明问题时需要足够精确。
• 第二步：做出假设
  • 一般来说，不能期望在一个简单的数学模型中确定影响现象的所有因素，所以我们的任务在于通过减少影响因素的数目来简化模型。
  • 要确定影响因素之间的关系，降低问题的复杂性。
    • 变量分类：每个变量都可被分为因变量、自变量或者两者都不是。
    • 确定变量关系：当问题十分复杂时，可能需要研究子模型，分别研究自变量中的一个或几个。最后再把子模型合在一起。
• 第三步：求解或解释模型
  • 往往需要给出问题的最优解
  • 当遇见不会求解或不会解释的难于处理的模型，需要返回第二步并进一步简化假设，甚至返回第一步重新定义问题。
• 第四步：验证模型
  • 是否偏离了关键问题？
  • 是否具有实用意义？
  • 是否具有普遍性？
  • 收集数据进行检验
• 第五步：实施模型
• 第六步：维护模型

2.2 模型构建的迭代性质

数学模型构建的迭代性质.jpg

• 描述模型的术语：
  • 如果一个模型的结论不依赖于精确地满足假设，便称这个模型为健壮的（robust），否则为脆弱的（fragile）
  • 敏感性（sensitivity）是指模型当某个条件变化时产生的变化程度，变化越大，敏感性越大。

3. 个人感受

• 实际上数学建模的过程是一个很自然的认识问题、分析问题、解决问题的过程，只不过在很大程度上依赖于使用数学工具。
• 这篇文章的关键在于上面的那张图。
• 虽然本篇文章是按照机械工业出版社的《数学建模》写的（黄皮厚书），但是个人并不推荐初学者使用。这本书优点在于示例丰富，贴近生活，适合美赛。但是翻译一言难尽，很多地方近似英文直译，给理解带来很多困难。可以在有一定基础后再看这本书的案例。