一阶低通滤波及其离散化

一阶低通滤波

低通滤波（Low-pass filter） 是一种过滤方式，规则为低频信号能正常通过，而超过设定临界值的高频信号则被阻隔、减弱，一阶低通滤波的传递函数如下所示。
$$G(s)={\omega }_c/(s+{\omega }_c)$$
${\omega }_c$为滤波截止角频率，实际应用中经常令$T=1/{\omega }_c$，一阶低通滤波器传递函数可改写为：
$$G(s)=1/(Ts+1)$$
其中T是滤波时间常数，s为拉普拉斯的算子，一阶低通滤波器的伯德图如下所示。

横坐标为，输出与输入之比再取对数。对低通滤波器进行离散化，使用后向差分变换，变换公式为：
$$s=(1-z^{-}1)/T_s$$
将变化公式带入传递函数，可得差分方程：
$$y(n)=({\omega }_c{T}_s)/(1+{\omega }_c{T}_s)x(n)+1/(1+{\omega }_c{T}_s)y(n-1)$$
令$a=({\omega }_c{T}_s)/(1+{\omega }_c{T}_s)$，则$1/(1+{\omega }_c{T}_s)=1-a$,整理后得到低通滤波器的差分方程为：
$$y(n)=ax(n)+(1-a)y(n-1)$$
其中：y(n)为本次滤波值，y(n-1)上次滤波值为， x(n)为本次采样值。

仿真模型

simulink仿真模型

测试信号合成

低通滤波截止频率2Hz

低通滤波截止频率1Hz