C++数据结构与算法分析——二分查找

二分查找

介绍

二分查找，也叫折半搜索、对数搜索。是用来在一个有序数组中查找一个数的算法。

例题

题目描述

给定一个n个元素有序的升序整型数组nums和一个目标值target，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设$nums$中的所有元素是不重复的。
2. $n$将在 $[1,10000]$之间。
3. $nums$的每个元素都将在$[-9999,9999]$之间。

解题思路

思路1：暴力$(O(n))$

遍历数组，如果出现了target值则返回其下标，如果遍历完还没有出现target值则返回-1，因为整个数组需要遍历一遍，因此时间复杂度为$O(n)$。

代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        for(int i = 0; i < nums.size(); i ++) // 遍历数组
            if(nums[i] == target) return i; // 如果出现了target值，返回下标
        return -1; // 遍历完还没出现target值，返回-1
    }
};

思路2：二分$(O(logn))$

从题目中我们发现数组是有序的，符合二分查找的使用条件。假设数组长度为n，我们可以先看nums[n / 2]，假如nums[n / 2] > target，那么就意味着nums[n / 2]之后的所有数都大于target，我们只需要从$0\sim n/2$中去找target即可。否则我们就从$n/2\sim n-1$中去找，当只剩下最后一个元素时，我们判断它与target是否相等，如果相等就返回下标，否则返回-1.因为我们每次都只会用到前一半或者后一半的数组，最后数组长度从n变成1，因此总共操作次数k符合$2^k=n$，因此k = logn，时间复杂度为$O(logn)$。

代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0,r = nums.size() - 1; // 设l为左边界，r为右边界，从nums[]l~r]中查找target
        while(l < r){ // 如果还剩下不止一个元素，则继续查找
            int mid = l + r >> 1; // 求出l~r的中点
            if(nums[mid] < target) l = mid + 1; // 假如中点值小于target，，就从nums[mid + 1,r]中查找target
            else r = mid; // 否则从nums[l,mid]中查找target
        }

        if(nums[l] == target) return l; // 如果剩下的数 == target，返回下标
        return -1;// 否则返回-1
    }
};

二分思想

前面的例题应该已经让你对二分有个初步的概念。就是将一个有序数组分成两半，其中一半的元素都$<=mid$值，另外一半反之，因此只有一半是我们可能需要的，另一半我们可以直接舍弃。从广义上看，不仅是排序好的数组可以用二分，只要是左右两边具有不同的性质都可以用二分，排序好的数组中，mid左边的数都<=mid，mid右边的数都>=mid，这便是左右两边的不同性质，可以让我们对数组进行折半拆分。，例如搜索旋转排序数组，这个题目的数组虽然没有严格排序，但它依然可以用二分解答。

边界问题

整数二分有一个边界问题，那就是在if(nums[mid] < target) l = mid + 1;中能不能改成l = mid，答案是不可以，假如我们有一个从$1\sim 100$内猜数字target = 7的程序代码如下：

#include 
using namespace std;

int main(){
    int n =100;
    int target = 7;
    int l = 1,r = 100;
    while(l < r){
        cout << l << ' ' << r << endl; // 输出l 和 r
        int mid = l + r >> 1;
        if(mid < target) l = mid;
        else r = mid;
    }

    cout << l;

    return 0;
}

我们很容易发现程序陷入了死循环，因为当l = 6,r = 7时，，mid = l + r >> 1 = 6，6 < 7，因此l = mid = 6，因此陷入了死循环，归根结底是因为mid = l + r >> 1是向下取整的，因此当还剩2个元素的时候l和mid有可能相等，因此令l = mid会引发死循环，所以l = mid + 1在这份代码中是无法修改为l = mid的，其它情况也可以自由探索。