数学分析 反函数存在性定理，连续性定理与求导定理

反函数存在性定理

若函数 y=f(x),x∈Df 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
x=f−1(y):Rf→X ， 并且 f−1(y) 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设 y=f(x),x∈Df 严格单调增加， 可知 ∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2) ， 所以 ∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 ， 所以存在反函数 f−1(y),y∈Rf 。
∀y1,y2∈Df−1=Rf, 设 x1=f−1(y1), x2=f−1(y2), 则 y1=y2⇒x1=x2, 否则
(1) x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2,
(2) x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2 ，
因此 f−1(y) 也是严格单调增加（减少）的。

反函数连续性定理

设函数 y=f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续且严格单调增加， f(a)=α,f(b)=β,