Brox光流法公式推导

第1章 数学基础

Brox光流法使用变分方法求解，得到使总能量最小的流场。涉及到的数学概念及工具包含：微分，变分，泛函，Euler-Lagrange equation。

1.1. 函数及微分

微分是微积分的一个基本概念，它用于描述函数在某一点附近的变化率。在物理学和工程学中，微分常被用来描述速度、加速度等与时间相关的变化率。在数学中，微分也是函数的导数，表示函数在某一点的斜率或者切线的斜率。
微分在最优化问题中有广泛应用，通过求解导数为零的点，可以找到函数的极小值或者极大值。

1.2. 泛函及变分

泛函是函数的函数。它把一个函数映射到一个实数上。泛函通常用于描述函数在一类函数中的性质，比如最小化或最大化某种性能指标。泛函最早来源于物理学，比如求解最速降曲线问题。在量子力学和统计力学中也有涉及。
求解泛函的极值可以使用变分法，比如Brox光流法中就使用了变分法。

1.3. E-L 方程

Euler-Lagrange方程是变分法中的基本方程，用于找到使泛函取得极值的函数。对于给定的泛函，Euler-Lagrange方程可以通过对泛函求导数，然后令导数为零来得到。解Euler-Lagrange方程可以得到泛函的极值函数。
有如下最小化问题：

令泛函