Problems of Boolean Circuits

2.1 Is set a complete basis? Construct an algorithm that determines whether a given set of Boolean functions A constitutes a complete basis. (Functions are represented by tables.)

proof:

2.2 Maximum complexity. Let be the maximum complexity for Boolean functions in variables. Prove that for sufficiently large .

proof: 考察的是个变量的boolean function，要使它的复杂度达到最大，也就是尽可能的多用到变量。考虑total function，而且值都是1，它的DNF表达式为：
上界(upper bound)： 根据DNF的表达式，每一个子函数，也就是conjunction的部分，是形如其中最多有个operation；
在disjunction部分中，{}共有个元素，所以， for large 。
下界(lower bound)：对比个变量的Boolean function和给定size大小的circuit的数量。假定选择了标准完备基，在k-th次assignment的时候，因为是从个输入变量和个辅助变量中选两个，最多有种可能性。所以size为的circuit的数量不会超过而个变量的Boolean function的数量是个。如果则Boolean function的数量比circuit的数量多，从而可以得到。因为是当输入为长时，上面不等式右侧那么多个circuit的最大的size，而长输入的Boolean function总共的数量是左侧的，所以肯定有别的Boolean function的复杂度比大，题干里说的是maximum complexity。或者就是对两边的集合里的元素取size的maximum，得到。
当时，上述的不等式成立，for sufficiently large n。从而可以推出想要的不等式。

2.3 Prove that there exists a decidable predicate that belongs to P/poly but not to P.

Remark2.1中，对的选择，选可计算的，但难计算的，图灵机在poly(n)时间内不能跑出结果来。