AM@积分上限的函数及其导数@微积分第一基本定理@原函数存在定理

abstract

• 使用定积分的定义计算积分通常是困难而且不方便的,为此,我们需要寻求新的方法,即微积分基本公式(定理)
  • 微积分第一基本定理是关于变上限积分(积分上限函数)的结论,作为第二基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)的基础
  • 通常微积分基本定理指的是第二基本定理,微积分基本公式为Newton-Leibniz公式
• 本文介绍:微积分第一基本定理@积分上限的函数及其导数@原函数存在定理

引言

• 变速直线运动中位置函数和速度函数之间的联系
  • 物体在时间间隔$[T_1,T_2]$内经过的路程可以用速度函数$v(t)$在$[T_1,T_2]$上的定积分$f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$来表示
  • 另一方面,这段路程又可以通过位置函数$s(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的增量$s(T_2)-s(T_1)$来表达
• 可见,$s(t)$和$v(t)$之间满足$f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$=$s(T_2)-s(T_1)$;并且$s^{\prime }(t)$=$v(t)$,($v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$)
• 这就是说,速度$v(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的定积分等于$v(t)$的原函数$s(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的增量$s(T_2)-s(T_1)$
• 由特殊性体现一般性,可以猜测该结论在一定条件下具有普遍性,并尝试给出证明

变上限积分

• 变上限积分,即积分上限函数

• 所谓积分上限函数,就是自变量位于定积分的上限位置

• 一般地,积分上限函数可以表示为:$G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$(1)

  • 字母$t$不是积分上限的函数$G$的自变量,而是被积函数的自变量,
  • 式(1)所示的积分上限的函数$G$的自变量是$x$
  • $x$或$x$的函数$g(x)$(不含$t$)的,相对于$f(t)$都是常数,在计算定积分时可以提出到积分号外

• 变上限积分函数是的产生方式依赖于定积分,比一般的初等函数要抽象一些

  • 初等函数在其定义域区间内是连续的,其原函数一定存在,但原函数却不一定仍然是初等函数,例如$\sin x^2$,该函数原函数存在却积不出(不是初等函数)
  • 变上限积分函数可能不是初等函数

基本性质

• ${\int }_a^{x}g(x)f(t)\mathrm{d}t$=$g(x){\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$
  • 因为$g(x)$相对于被积函数是常数
  • 例如$F(x)={\int }_0^x(x^2-3t^2)f(t)\mathrm{d}t$,则$F(x)=x^2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$3{\int }_0^x{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t$

变下限积分

• 由定积分的补充约定,有${\int }_x^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$-{\int }_b^{x}f(x)\mathrm{d}x$
• 即可以将变下限积分转换为变上限积分进行研究

微积分第一基本定理

• 揭示不定积分和定积分的关系,讨论变上限积分函数的导数(积分上限的函数及其导数)

• 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,积分上限的函数$G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$,在$[a,b]$上可导,且$G^{\prime }(x)$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$,$x\in [a,b]$(1)

定积分与不定积分的关系

• 上述定理表明,连续函数$f(x)$取变上限$x$的定积分,然后求导,结果还原为$f(x)$本身

  • $G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$是$f(x)(x\in [a,b])$的一个原函数

  • 区间上积分上限的函数的导数为被积函数

  • $\int f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$,$(x\in [a,b])$

证明

• 可以分为三个部分进行证明:

  1. 区间内部$x\in (a,b)$
  2. 区间左边界$x=a$
  3. 区间右边界$x=b$

• 若$x\in (a,b)$,且$x+\Delta x\in (a,b)$

  • 记:$\Delta G(x)=G(x+\Delta x)-G(x)$
    • =${\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$
    • =${\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t$
    • =${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$

• 由定积分中值定理:

  • 区间$[x,x+\Delta x]$上存在一点$\xi$,使得:$\Delta G(x)$=${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$=$f(\xi )\Delta x$

  • $\frac{1}{\Delta x}\Delta G(x)$=$\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$=$f(\xi )$

  • $\Delta x\to 0$时,$x+\Delta x\to x$.又因为$\xi \in [x,x+\Delta x]$,则$\xi \to x(\Delta x\to 0)$

  • 由导数的定义(极限),将$\xi$视为变量,$G^{{}^{\prime }}(x)$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta G(x)}{\Delta x}$=$\underset{\xi \to x}{\lim }f(\xi )$=$f(x)$

    • 由于$f(x)$在$[a,b]$内是连续的,$[x,x+\Delta x]\subset (a,b)$自然也是连续的

    • 根据一元连续函数的性质,那么有$\underset{\xi \to x}{\lim }f(\xi )=f(x)$

  • $G^{\prime }(x)$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$,$(x\in (a,b)$,即结论成立

• 进一步分类讨论:

  • $x=a$,取$\Delta x>0$;可以得到右导数$G_{+}^{\prime }(a)=f(a)$;
  • $x=b$,取$\Delta x<0$;左导数:$G_{-}^{\prime }(b)=f(b)$,
  • 从而得到$G^{\prime }(x)=f(x)$

原函数存在定理

• 由微积分第一基本定理,容易引出连续函数的原函数存在定理
• 定理:
  • 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,则函数$G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数
    • 即$G(x{)}^{\prime }$=$f(x)$,$(x\in [a,b])$;$\int f(x)\mathrm{d}x$=$G(x)+C$;
    • 注意积分下限为闭区间左端点,积分上限为变量$x$
• 本定理表明
  • 来连续函数的原函数一定存在,并解释了(变上限)定积分与原函数之间的关系,暗示我们可以有可能通过原函数来计算定积分

拓展

• 如果$f(x)$在区间$D=[a,b]$上除了点$x=x_0\in (a,b)$外均连续,而在$x=x_0$处$f(x)$有跳跃间断点(即$f(x)$在$x_0$处的左右极限都存在但不相等:$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})$,$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0^{+})$,$f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$)
• 令$F(x)={\int }_c^{x}f(t)\mathrm{d}t$,$c\in [a,b]$,$x\in [a,b]$则有结论
  • $F(x)在[a,b]$上连续
  • $F^{\prime }(x)=f(x),x\in [a,b],x\ne x_0$
  • $F_{-}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{-}),F_{+}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{+})$,即,间断点$x_0$处原函数的左导数等于$f(x)$在$x_0$的左极限,原函数右导数等于$f(x)$在$x_0$右极限
• 例,分段函数$f(x)$=$\sin x$,$(x⩽0)$;$f(x)=e^x$,$(x>0)$,我们研究其在$(-\infty ,+\infty )$区间上的原函数性质
  • 任取$(-\infty ,+\infty )$中的某点$c$,不妨取$c=-\pi$,并记$F(x)$=${\int }_{-\pi }^{x}f(t)\mathrm{d}t$
  • 由分段函数的积分:$F(x)$
    • =${\int }_{-\pi }^x\sin t\mathrm{d}t$=$-\cos x{|}_{-\pi }^x$=$-[\cos {]}_{-\pi }^x$=$-(\cos x+1)$=$-\cos x-1$,$(x⩽0)$
    • =${\int }_{-\pi }^0\sin t\mathrm{d}t$+${\int }_0^x{e}^t\mathrm{d}t$=$[-\cos x-1]{|}_{x=0}$+$e^x{|}_0^x$=$-2$+$e^x-1$=$e^x-3$,$(x>0)$
    • 显然$F(x)$在两个区间内各自连续,且在$x=0$处连续,因为$F(0^{-})$=$F(0^{+})$=$F(0)$,因此$F(x)$在$(-\infty ,\infty )$上连续

例

• 设$f(x)$在[a,b]上连续,且$f(x)>0$,$G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_b^x\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t$(1)

• 求证

  • $G^{\prime }(x)⩾2$
  • 方程$G(x)=0$在$(a,b)$内仅有一个实根

• 式(1)两边对$x$求导

  • $G^{\prime }(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$

  • 由于$f(x)>0$,由基本不等式得出$G^{\prime }(x)⩾2\sqrt{f(x)\cdot \frac{1}{f(x)}}=2$

  • 由于$G(a)={\int }_b^a\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t=-{\int }_a^b\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t<0$

    • $G(b)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t>0$;故由零点定理知,$G(x)=0$在$(a,b)$内至少存在一个根

    • 而$G^{\prime }(x)>0$,$G(x)$在$[a,b]$上单调增加,所以$G(x)=0$在$(a,b)$内仅有一个根

例

• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)$

  • 容易发现上述极限是$\frac{0}{0}$型,考虑使用LHopital法则

  • 由于(可以令$u=\cos x$,作复合函数求导)

    • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$=$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_1^{\cos x}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$=$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}{\int }_1^u{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$=$-(e^{-u^2})(-\sin x)$=$\sin x{e}^{-{\cos }^{2}x}$

  • $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)$=${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x{e}^{-{\cos }^{2}x}}{2x}=\frac{1}{2e}$

例

• $F(x)=x^2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$
• 则$F^{\prime }(x)$=$2x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$+$x^{2}f(x)$

例

• 设$f(x)$在$[0,+\infty )$上单调减少且连续,令$F(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t$,求证$F(x)⩾0$
• $F(x)$=$x^2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$3{\int }_0^x{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t$
• $F^{\prime }(x)$=$2x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+x^{2}f(x)$-$3x^{2}f(x)$=$2x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$2x^{2}f(x)$(0)
• 对$f(x)$应用积分中值定理:存在$\xi \in [0,x]$(设$x>0$),使得${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}x$=$f(\xi )(x-0)$
  • 即${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}x$=$xf(\xi )$(1)
• 将(1)代入(0),得$F^{\prime }(x)=2x^{2}f(\xi )-2x^{2}f(x)$=$2x^2(f(\xi )-f(x))$
• 由$f(x)$的单调递减,$\xi ⩽x$,可知$f(\xi )⩾f(x)$;即$f(\xi )-f(x)⩾0$
• 从而$F^{\prime }(x)⩾0$,$F(x)$在$[0,+\infty )$上单调递增,从而$F(x)⩾F(0)=0$,命题得证

微积分第二基本定理及其应用

• 微积分第二基本定理