图形学基础（5）——Sobol 采样

　　一个光源会在三维空间以及角度空间中随机产生光线分布。比方说，一个点光源的发出位置 origin 不变，而光线方向按照余弦来均匀分布。当进行渲染时，必须发出足够多个光线，才能精确描述这个点光源。
　　光线的随机产生通常使用随机数产生器，随机数产生器的目标是制造一系列互相无关的随机数，然后追踪大量的随机光线，在运算量较小的情况下获得尽可能高的渲染结果。
　　所有基于现代 CPU 的随机数生成算法都是伪随机的（quasi-random）。它们受限于一个周期。当超过周期后就会重复出现，而不再是相互无关的随机数。这个周期的最终限定是由电脑的位数来决定的，因此，没有一个内建的随机数是“真正”随机的。
　　Sobol 采样使用了不同的方式来采样。比起随机数，Sobol 序列着重于在概率空间中产生均匀的分布。但这并不是单纯的使用网格来填满，而是使用一个本质上随机，但是巧妙的方法去“填满”概率空间，即之后产生的随机数会分布到之前没有采样到的区域。

Radical Inversion 运算和 Van der Corput 序列

　　本节来自低差异序列（一）- 常见序列的定义及性质，欢迎读者移步查看原文。
　　Radical Inversion 运算的定义：

i=∑l=0M−1al(i)bl

Φb,C(i)=(b−1...b−M)[C(a0(i)...aM−1(i))T]

　　上式中，如果将任意一个整数 i 表示成 b 进制的数字，然后把得到的数按位 al(i) 排成向量，再用这个向量和生成矩阵 C 相乘得到一个新向量，最后把新向量镜像到小数点右边得到另一个范围在 [0,1) 的数字，就称为 RadicalInversion 运算，记为 Φb,C(i) 。
　　如果将上述过程简化一下，另 C 为单位矩阵，可以得到 Van der Corput 序列：

Φb(i)=(b−1...b−M)(a0(i)...aM−1(i))T=∑l=0M−1al(i)b−l−1

　　举个例子，正整数8以2为底数的radical inverse的计算过程如下。首先算出8的2进制表示，1000。此处假设 C 单位矩阵，所以直接将1000镜像到小数点右边，0.0001。这个二进制数的值就是最终结果，把它转换回10进制就得到1/16, 即 Φ2(8)=1/16=0.0625 。下面的表给出了更多的以2为底数的Van der Corput序列的例子。
　　
　　Van der Corput序列有几个属性：
- 每一个样本点都会落在当前已经有的点里“最没有被覆盖”的区域。例如 Φ2(3)=3/4 是刚好落在了 [0,1) 区间中被覆盖最少的区域（ Φ2(0)=0,Φ2(1)=1/2,Φ2(2)=1/4 ）。
- 样本个数达到 bm 个点时对 [0,1) 会形成 uniform 划分。
- 很多时候并不能够代替伪随机数，因为点的位置和索引有很强的关系，例如在以2为底的Van der Corput序列中，索引为基数时候序列的值大于等于0.5，偶数时则小于0.5。

产生 Sobol 序列

　　本节来自低差异序列（二）- 高效实现以及应用，由于原文写很棒，我也就不献丑了，直接贴过来。
　　Sobol序列的每一个维度都是由底数为 2 的 radical inversion 组成，但每一个维度的radical inversion都有各自不同的矩阵 C 。
　　因为完全以2为底数，所以Sobol序列的生成可以直接使用bit位操作实现radical inversion，非常高效。Sobol序列的分布具有不仅均匀，而且当样本的个数为2的整数次幂时，在 [0,1)s 区间中以2为底的每个Elementary Interval中都有且只会有一个点，这意味着它可以生成和Stratified Sampling和Latin Hypercube同样高质量分布的样本（见下图），同时又不需要预先确定样本的数量或者将样本储存起来，并可以根据需要生成无限个样本，非常适合progressive的采样。这些性质也使得Sobol在需要一切对高维空间采样的应用中，例如图形，渲染以及金融领域，都非常流行。
　　

Radical Inversion 实现

　　目前介绍过的所有序列都基于Radical Inversion这个操作，而这个操作尽管公式略微复杂，但它的实现非常直观和简单，下面贴上代码以及注。

double IntegerRadicalInverse(int Base, int i)
{
    int numPoints, inverse;
    numPoints = 1;
    // 此循环将i在"Base"进制下的数字左右Flip
    for(inverse = 0; i > 0; i /= Base)
    {
        inverse = inverse * Base + (i % Base);
        numPoints = numPoints * Base;
    }

    // 除以Digit将这个数镜像到小数点右边
    return inverse / (double) numPoints;
}

　　Sobol序列的所有维度都是基于2为底数的Radical Inversion。只不过每个维度有自己不同的生成矩阵（Generator Matrix） C 。因为是以2为底数，将数字从二进制中提取每一位的数字，以及和矩阵C做运算，都可以用位操作（右移，异或等）来完成，非常高效。

double Sobol(uint64 i, uint Dimension)
{
    double r;
    // 将i依次右移，提取2进制里的每一位
    for (uint k = 0; i; i >>= 1, k++)
        if (i & 1) // 若当前位为1，则用异或和矩阵相乘
            r ^= C[Dimension][k];
    return r / (double) (1 << M); // 除以2^M,移到小数点右边
}

　　那么如何计算出能生成如此高质量分布的矩阵呢？Quasi Monte Carlo的学者们已经花了数10年的时间搜索这种矩阵，现在我们可以在这个网页（Sobol sequence generator ）找到可以生成21201维度的Sobol序列的矩阵。

参考：
低差异序列（一）- 常见序列的定义及性质
低差异序列（二）- 高效实现以及应用