【ACWing】892. 台阶-Nim游戏

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/894/

有个$n$级台阶，每级台阶有若干石子，第$i$级台阶上有$a_i$个石子（$i\ge 1$）。两个玩家轮流操作，每个玩家可以从第$i$级台阶上拿任意多个石子放到第$i-1$级台阶上，可以全拿但不能不拿。已经拿到地面上的石子不能再拿。无法操作者视为失败。问先手是否存在必胜策略。

输入格式：
第一行包含整数$n$。第二行包含$n$个整数，其中第$i$个整数表示第$i$级台阶上的石子数$a_i$。

输出格式：
如果先手方必胜，则输出“Yes”。否则，输出“No”。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i\le 10^9$

我们证明，当$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}\ne 0$时先手有必胜策略。证明如下，首先证明三个结论：
1、首先当所有台阶都没有石子时，是个必败状态。这是显然的；
2、如果$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}\ne 0$，先手总可以适当移动石子，使得移动完之后$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}=0$；
3、如果$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}=0$，先手无论怎么移动石子，移动完之后都有$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}\ne 0$。
两者的证明都可以参考经典Nim游戏的证明方法：https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/114006771。

由于这个游戏必然停止，如果一开始$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}\ne 0$，那么先手总可以适当操作，使得后手永远都面对$a_1\wedge a_3\wedge ...\wedge a_{2k-1}=0$的局面，而当游戏结束的时候，必败局面$a_1=a_2=...=a_n=0$必然是后手遇到的，所以先手有必胜策略。反之，后手有必胜策略。代码如下：

#include 
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        if (i & 1) res ^= a[i];
    }

    cout << (res != 0 ? "Yes" : "No") << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。