DSU ON TREE
DSU ON TREE
DSU：并查集
DSU ON TREE：树上启发式合并
我也不知道为啥树上并查集就是树上启发式合并
启发式合并的思想是每次把小的往大的合并，也就是最大化利用已有的答案（大的数组不用清空，在原基础上加上小的即可）。转移到树上，“大”显然就是树的重心。
能解决什么样的问题？需要统计子树信息，但是子树的信息不好合并。比如权值是否出现（桶）。所以肯定要留下最大的，也就是树链剖分的重儿子。
考虑两种合并方式（以对子树做桶排序为例，保留重儿子数组）：
- 遍历子树的桶，对应相加，即类似num[x][val]+=num[v][val]，复杂度O(值域)
- 遍历子树，直接num[x][val[v]]++，复杂度O(子树大小)
显然第一种太大了。
同时，显然不能对每个节点开一个桶表示“以x为根的子树的桶”，空间无法接受，所以桶只能留到一维，这就涉及到清空，因为在dfs另一个儿子时前一个子树的影响要清空。所以要尽可能少的减少清空，在dfs时如果最后访问重儿子，那就可以不清空最大的一部分。
void dfs2(int x,int fa,int save)
{
for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v==fa || v==mxson[x]) continue;
dfs2(v,x,0);
}
if (mxson[x]) dfs2(mxson[x],x,1);
if (!show[dis[x]]) show[dis[x]]=deep[x];
else show[dis[x]]=min(show[dis[x]],deep[x]);
int need=k+2*dis[x]-dis[x];
if (show.count(need))
{
int mndep=show[need];
int nowans=mndep+deep[x]-2*deep[x];
ans=min(ans,nowans);
}
for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v==fa || v==mxson[x]) continue;
calc_ans(v,x,x),add(v,x);
}
//if (!save) del(x,fa);
if (!save) show.clear();
}
大致这个样子，save表示是否要清空桶。先跑轻儿子，清空桶。再跑重儿子，不清空桶，那么这个桶里的东西再回溯到父亲节点时依然保留。同时注意为什么先calc_ans再add，是为了避免有两个点在同一棵子树内的情况，即 u → l c a → x → l c a → v u\rightarrow lca\rightarrow x\rightarrow lca\rightarrow v u→lca→x→lca→v的情况。在题目里往往这种情况不合法。
例题
洛谷P4149 [IOI2011] Race
题目链接
题目大意：给一棵树，每条边有权。求一条简单路径，权值和等于k，且边的数量最小。
思路：问题转化为选择点对 ( u , v ) (u,v) (u,v)，满足 d i s u + d i s v − d i s l c a ( u , v ) = k dis_u+dis_v-dis_{lca(u,v)}=k disu+disv−dislca(u,v)=k，最小化 d e e p u + d e e p v − d e e p l c a ( u , v ) deep_u+deep_v-deep_{lca(u,v)} deepu+deepv−deeplca(u,v)，考虑处理以 x x x为根的子树的答案，不妨设 l c a ( u , v ) = x lca(u,v)=x lca(u,v)=x，在dfs到点u时，只需要查找 k + 2 ∗ d i s x − d i s u k+2*dis_x-dis_u k+2∗disx−disu的点，都可以作为点 v v v（移项可得），此时考虑需要最小化的值， d e e p u deep_u deepu和 d e e p x deep_x deepx都是已知值，所以只需要开一个桶（map）维护 m a p [ d ] map[d] map[d]表示 d i s = d dis=d dis=d的点的 d e e p deep deep最小值。
解决了思路，剩下的就是实现DSU ON TREE。注意先遍历子树求解，再将该子树加入桶。
#include
ans=INF;
dfs2(1,0,0);
if (ans==INF) cout<<-1<<endl;
else cout<<ans<<endl;
return 0;
}
有一个小细节是要单独计算一下根的答案，因为在后面的过程中并没有再次进入重儿子，所以会漏掉重儿子到子树树根的这种答案。其他情况都已经在后面的不断加入中包含。
例题
CF 600E Lomsat gelral
题目链接
题目大意：一棵树每个点有个颜色，求以每个点为根的子树出现最多的颜色的编号之和。
思路：朴素的DSU ON TREE，开个桶记录就行，众数用set维护，当出现更大的，清空set，出现相等的，插入set即可。
#include