学习笔记——斜率优化dp

注：文中全部图片均为手绘，不喜勿喷

总论

斜率优化是dp优化中极其常用的一种手法

第一点，先要懂什么是凸包与单调队列

先来看看凸多边形是什么样

接着再是斜率及斜率优化

一、凸包及凸多边形

凸多边形

就像这样

这就不是

即所有角都$\le 180$°

凸包

一条折线，满足斜率(定义看下面)单调递增或递减，例如

二、 单调队列

请看下图

三、斜率

进入正题

什么是斜率？

严谨一点讲：

斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

其中，$\Delta x$ 与 $\Delta y$ 表示横坐标差与纵坐标差

在 $\Delta x$ 为 0 的时候，即该直线与 $y$ 轴平行，该直线斜率不存在或认为趋向于 ∞

一次函数中，$f(x)=ax+b$，a就是其函数影像的斜率

一篇博客少不了一道题

例题——斜率

输入格式

第一行两个整数 $n$ 和 $m$ 。

接下来 $n$ 行，每行两个整数，表示一个点的坐标。

接下来 $m$ 行，每行一个整数，表示一条直线的斜率。

输出格式
对于每个斜率 $k$ ，输出 $kx+y$ 的最大值， 其中 $(x,y)$ 是给出的 $n$ 个点中的一个。

样例

输入

5 4
-1 1
1 2
3 4
4 3
5 6
-2
3
-5
10

输出

3
21
6
56

数据范围与提示

$n,m$ 的范围 $[1,10^5]$; $x,y,k$ 的范围 $[-10^9,10^9]$ 。

思路

一看这题的数据范围，暴力绝对挂，必须考虑优化

首先，暴力的思想是：
$$ans=\max \{x_{i}k+y_i\}(1\le i\le n)$$
我们考虑舍去多余的判断

不妨先将节点按x轴排序

当 $(x_j,y_j)$ 比 $(x_i,y_i)(i<j)$ 更优时候，有
$$k{x}_i+y_i<k{x}_j+y_j$$
$$k(x_j-x_i)>y_i-y_j$$
$$-k<\frac{y_i-y_j}{x_i-x_j}=k_{j\leftrightarrow i}$$

$k_{x\leftrightarrow y}$ 表示连接 $x$ 和 $y$ 的线的斜率

显然，一个点只有比两侧的点更优，才可能是最优决策点

则对于每次询问的 $k$ ，若点 $i$ 是决策点，一定存在 $k_{i\leftrightarrow i-1}\ge -k>k_{i+1\leftrightarrow i}$

很明显，后一个的斜率 $<$前一个的斜率，是一个上凸包（如图）

这样，我们的目的变为维护一个上凸包，即斜率递减

可以利用类似单调栈的方法：遇到一个点$i$先将其与队末连线，如果产生了一个下凸包，则删掉队末……直至满足条件。然后加入$i$点（是类似单调栈哦！与单调栈还是不同的）

均摊复杂度$O(1)$（证明：因为每个数都最多加入一次，删除一次）

循环结束后

对于每个询问，如何求出最优解？

不难发现，对于询问的$k$，

当$k_{j-1\leftrightarrow j}>-k$，则$j$一定是$[1,j]$中的最优决策点

当$k_{j-1\leftrightarrow j}\le -k$，则$j$一定是$[j,n]$中的最优决策点

每次二分答案，可做到$O(n\log n)$

当然，可以利用单指针，将k从小到大排序，离线处理

证明：
因为$k$越大，其答案斜率越小，可以往更后面处理，理论$O(n\log n)$或$O(n+p),p=\max \{k_i\}(1\le i\le m)$

对于此题，至少$O(n\log n)$，即快排时间复杂度或计排$+map$时间复杂度

二、斜率优化dp

这是斜率的升级版

依然少不了一道题

例题——[SDOI2016] 征途

题目描述

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，$v\times m^2$是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出$v\times m^2$。

输入格式

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

输出格式

一个数，最小方差乘以 $m^2$ 后的值

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1 2 5 8 6

样例输出 #1

36

提示

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 10$

对于 $60\%$ 的数据，$1\le n\le 100$

对于 $100% $ 的数据，$1\le n\le 3000$

保证从 $S$ 到 $T$ 的总路程不超过 $30000$ 。

思路

• 第一步：方差这个东西好玄乎，拆开来！
• 第二步：欸好像可以滚掉点空间！
• 第三步：时间不够，斜率来凑

第一步

$$\text{方差}S=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-\overline{x}{)}^2$$

可以将$n^2$移至左侧
$$m^{2}S=m(\sum _{i=1}^m{x_i}^2)-2(\sum _{i=1}^m{x}_i{)}^2+(\sum _{i=1}^m{x}_i{)}^2$$
$$m^{2}S=m(\sum _{i=1}^m{x_i}^2)-(\sum _{i=1}^m{x}_i{)}^2$$

这就是我们要输出的东西

可以发现，第二项其实是个常数，$m$也可以最后乘

这样，需要维护的东西成了平方和

记$s_i={\sum }_{j=1}^i{x}_j$

$dp$式子就是$d{p}_{i,l}=\min \{d{p}_{j,l-1}+(s_i-s_j{)}^2\}(i<j)$

第二步(此步可省略)

可以发现，我们能够不按常理出牌，先枚举$l$，这样可以滚掉$l$这一层，但要倒序枚举

伪代码：

for i=1->m:
    for j=n->1:
        for k=1->j-1:
            dp[j]=minimum(dp[j],dp[k]+(s[j]-s[k])^2)

第三步

重中之重到了！！！

我们还要继续拆式子（悲）

$(s_i-s_j{)}^2=(s_j^2-2s_j{s}_i)+s_i^2$

带进$dp$式子内，得
$$d{p}_i=\min \{d{p}_j+s_j^2-2s_j{s}_i+s_i^2\}$$

斜率优化有个套路，就是先提再构

提

即提出常数项
$$d{p}_i=\min \{d{p}_j+s_j^2-2s_j{s}_i\}+s_i^2$$

构

构造一个只与$j$有关的函数
$$f(j)=d{p}_j+s_j^2$$
$$d{p}_i=\min \{f(j)-2s_j{s}_i\}+s_i^2$$

接着是斜率的老套路

一个$j_1$比$j_2$优且$j_2<j_1$，仅当
$$f(j_1)-2s_{j_1}{s}_i>f(j_2)-2s_{j_2}{s}_i$$
$$f(j_1)-f(j_2)>2s_i(j_1-j_2)$$
$$\frac{f(j_1)-f(j_2)}{2(j_1-j_2)}<s_i$$

这样与第一题截然相反，是要维护一个下凸包

但二分还是一样的

理论复杂度$O(n\log n)$

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与官方博文或参考文献对照，可更好理解

参考文献：https://www.luogu.com.cn/blog/aben-blog/xie-shuai-you-hua-dp

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