洛谷题单 Part 6.7.1 矩阵
应队友要求，开始学线性代数，具体路线是矩阵 → \rightarrow →高斯消元 → \rightarrow →线性基。为多项式做个准备
P3390 【模板】矩阵快速幂
题面
板子，用结构体写的，感觉有点丑，一会儿看看题解有没有写得好看的
#includeP1939 【模板】矩阵加速（数列）
题面
搞个方阵
A 3 = [ a 3 a 2 a 1 0 0 0 0 0 0 ] , X = [ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ] , A_3=\left [ \begin{matrix} a_3& a_2 & a_1 \\ 0& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] ,X=\left [ \begin{matrix} 1& 1 & 0 \\ 0& 0 &1 \\ 1& 0 & 0 \\ \end{matrix} \right], A3= a300a200a100 ,X= 101100010 ,
则 A 3 X = [ a 4 a 3 a 2 0 0 0 0 0 0 ] = A 4 , A_3X=\left [ \begin{matrix} a_4& a_3 & a_2 \\ 0& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=A_4, A3X= a400a300a200 =A4,
因此对 X X X进行矩阵快速幂即可。
#includeP4783 【模板】矩阵求逆
题面
把一个矩阵通过行变换变为单位矩阵所需要的行变换操作，操作给一个单位矩阵，就可以得到其逆矩阵。故应用高斯消元即可。
#includeP1962 斐波那契数列
题面
构造矩阵
A 2 = [ f 2 f 1 0 0 ] , X = [ 1 1 1 0 ] , A_2=\left [ \begin{matrix} f_2 & f_1 \\ 0 &0 \\ \end{matrix} \right] ,X=\left [ \begin{matrix} 1& 1 \\ 1& 0 \\ \end{matrix} \right], A2=[f20f10],X=[1110],
则 A 2 X = [ f 3 f 2 0 0 ] = A 3 , A_2X=\left [ \begin{matrix} f_3 & f_2 \\ 0 &0 \\ \end{matrix} \right]=A_3, A2X=[f30f20]=A3,
#includeP1349 广义斐波那契数列
题面
构造矩阵
A 2 = [ f 2 f 1 0 0 ] , X = [ P 1 Q 0 ] , A_2=\left [ \begin{matrix} f_2 & f_1 \\ 0 &0 \\ \end{matrix} \right] ,X=\left [ \begin{matrix} P& 1 \\ Q& 0 \\ \end{matrix} \right], A2=[f20f10],X=[PQ10],
则 A 2 X = [ f 3 f 2 0 0 ] = A 3 , A_2X=\left [ \begin{matrix} f_3 & f_2 \\ 0 &0 \\ \end{matrix} \right]=A_3, A2X=[f30f20]=A3,
#includeP4000 斐波那契数列
题面
不是，这什么题都往题单里放啊，这是我 18 18 18年外出集训堵了个论文费了两三天时间才切了的人生中第一道黑题，现在变成紫题了。
有一个性质是 f n m o d p f_n\mod p fnmodp有循环节，且循环节长度不会超过 6 p 6p 6p，这还有个名叫皮萨诺定理。所以我们考虑求出循环节的长度，然后用矩阵乘法求出结果。
引理：对于 f n m o d p f_n\mod p fnmodp的循环节 g ( p ) g(p) g(p)有如下性质：
1. p = p i α i 1.p=p_i^{\alpha_i} 1.p=piαi，即 p p p为质数的幂时， g ( p ) = g ( p i ) × p i α i − 1 g(p)=g(p_i)\times p_i^{\alpha_i-1} g(p)=g(pi)×piαi−1
2. p = ∏ p i α i 2.p=\prod p_i^{\alpha_i} 2.p=∏piαi，即 p p p为合数时， g ( p ) = l c m ( g ( p i α i ) g(p)=lcm(g(p_i^{\alpha_i}) g(p)=lcm(g(piαi)
对于 g ( p ) g(p) g(p)这么算，如果 5 5 5是模 p p p的二次剩余，那么循环节为 p − 1 p-1 p−1的因子，否则为 2 p + 2 2p+2 2p+2的因子。
因为 p p p不是特别大，直接取 p − 1 p-1 p−1和 2 p + 2 2p+2 2p+2即可。
对于 p ≤ 5 p\le 5 p≤5就暴力算即可， g ( 2 ) = 3 , g ( 3 ) = 5 , g ( 5 ) = 20 g(2)=3,g(3)=5,g(5)=20 g(2)=3,g(3)=5,g(5)=20
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#includeP3758 [TJOI2017] 可乐
题面
#includeP5343 【XR-1】分块
题面
方程很简单 d p [ i ] = ∑ j ∈ b l o c k , j ≤ i d p [ i − j ] dp[i]=\sum_{j\in block,j\le i}dp[i-j] dp[i]=∑j∈block,j≤idp[i−j]，现在考虑如何矩阵优化。
由于块的大小不会超过 100 100 100，所以我们开一个 100 × 100 100\times 100 100×100的矩阵，首先预处理出 d p [ 1 ] − d p [ 100 ] dp[1]-dp[100] dp[1]−dp[100]，将其填入 A A A矩阵第一行中，再考虑所有 j ∈ b l o c k j\in block j∈block，设 X [ j ] [ 1 ] = 1 X[j][1]=1 X[j][1]=1，对于后99列设 X [ j − 1 ] [ j ] = 1 X[j-1][j]=1 X[j−1][j]=1，则这样可以转移 A A A矩阵，应用矩阵快速幂即可。
#include