3. 美赛建模总结-2-"最佳巧克力蛋糕烤盘"(连续)-题目解析

1. 问题陈述

2013年的A题是与连续性数学(特别是微分方程)相关的一个问题

问题陈述如下：

2013年A题"最佳巧克力蛋糕烤盘"问题

2. 理解问题

2.1 确定要做什么

1. 什么是巧克力蛋糕烤盘

   • 标准的烤盘从数学角度，可以看做是很矮的金属空心柱体，有底无盖，底部通常是圆形或矩形
   • 然而搜索后会发现还有其它形状的烤盘，比如硅氧树脂做成的软边烤盘，比如中间有分隔的烤盘
   • 论文中最好列举一下各种烤盘，然后选择自己讨论的某种或某类进行讨论建模
   • 题目要求是考虑各种不同形状的烤盘，题目建议是"介于矩形和圆形之间的其它形状"，这个就可以按照自己的理解，比如圆角矩形，正方形，正多边形等

2. 什么是烤箱中能容纳的烤盘数量N

   • 是尽可能多的烤盘，还是在保证热量分布均匀性的前提下下，排放尽可能多的烤盘(实际上在该题中这两种情况都要进行讨论)

3. 如何度量烤盘上热量的分布均匀程度H

   • 最简单的方式就是烤盘表面最高温度减去最低温度

   • 有的参赛队希望引入一种度量，使得热量分布越均匀时，H的值越大，从而可以通过求 pN+(1-p)H 的极大值得到同时保证烤盘数量和热量分布均匀程度的p值

   • 一些参赛队使用的度量方法如下:

     • (T_f - T_max) / (T_f - T_min) -1

       其中T_f_是烤炉内的温度(假设均大于T_max和T_min), T_max是烤盘表面的最高温度，T_min 是烤盘表面的最低温度

     • 烤盘表面热量变化梯度的方差

2.2 查阅文献

查阅文献的重要目的是为建立模型找一个起点。

往年的美赛题(大学组或高中组)中可能有类似的问题

另外可以按照下面思路去搜索查阅：

1. 从 烤盘 出发:

   • 烤盘的性质(材料，热传导性能等)

   • 搜索 "蛋糕烤盘"，或者更特定的内容，如 "蛋糕烤盘加热",

2. 从 加热 出发：

   • 搜索 "物理烘烤过程"，因为涉及温度，所以有关冷却的信息也可能作为建模的起点，有些参赛队就是从冷却开始做的

3. 直接带着 模型 关键字:

   • 搜索 "烘烤数学模型"，更宽泛的 "食物温度数学模型"，再宽泛的就是 "温度数学模型" 了

建立模型要求弄清楚问题的整个过程和细节，知道模型的影响因素，以便建模时对它们合理考虑，除了根据自己的经验外，参照相关论文也能给自己思路。

要更多的依赖教材和参考书，即使基于文献建立了模型，也需要对其中用到的公式、方程等加以解释和验证。

2.3 建立模型

根据自己的经验和文献检索，可以发现许多影响问题结果的因素，比如建立蛋糕烘烤模型时:

• 烤箱的热辐射
• 其它烤盘(烤箱里同时存在多个烤盘) 的热辐射
• 热空气对流
• 水的蒸发导致的热量损失
• 蛋糕的化学变化导致的化学变化
• 烘烤过程中蛋糕体积与形状的变化
• 蛋糕不同部位的热量传递，例如在蛋糕顶部(蛋糕与空气)以及在蛋糕侧面及底部(蛋糕与烤盘)
• 烤箱中不同位置以及不同层的热量分布

但这并不意味着需要将所有因素考虑到模型中，事实上肯定不能这样做，一个过于复杂的模型将非常难以分析。

一个经过深入分析与讨论的模型比一个全面的模型更重要。但是所做的任何简化在论文中都应该提到，并对其理由加以说明，哪怕只是为了简化问题以建立模型。

必须在对较简单模型已有充分讨论的基础再添加新的元素。

2.4 求解模型

模型建立后，需要回答题目中的三个问题。

1. 设计烤盘使烤箱中可以容纳的烤盘数量最大。

   这个问题较简单，单独解出，与该模型无关

2. 设计烤盘使得烤盘上的热量分布(H)最均匀。

   题目的阐述已经给出了答案，如果假设烤箱内温度分布是各向同性的(这一点也不完全符合实际)，则圆形烤盘的上的热量分布是最均匀的。我们建立的模型应当在这种情况下给出相同的结果。

3. 综合前两个条件，并且分别为他们设置权值 p 和 1-p ，寻求最优解；然后描述结果随着 W/L 和 p 值的变化是如何变化的

   • 回答这个问题需要应用模型及 H 的定义确定各种形状烤盘的热量分布，然后寻求 N 与 H 的最佳平衡
   • 有的队直接对 pN +(1-p)H 求最优，有的队采取间接的方式来求最优。这样的话H 的度量需要合理选取，度量值太小使得 H 相对 N 显得无关紧要，太大又使得 N 相对 H 显得无关紧要。有的队先将这两个参数标准化，再代入 pN + (1-p)H 计算，这样就不存在两个变量大小不均衡的问题了。
   • 两个目标值的联合优化求解总是一个难题，应用随机搜索方法得到近似最优解往往是一种好办法，许多参赛队求解此问题时应用了遗传算法。

2.5 稳定性检验

好的模型其结果不应该过度受到一些非关键因素的影响。

比如在本题中，烤盘的合适形状似乎依赖于烤箱的形状和大小，而不应该依赖与烤箱的温度(可以如此假定)、蛋糕面团的类型以及其他一些因素。

如果你应用遗传算法来确定烤盘形状，你应当多运行几次程序看看能否得到相同或非常接近的结果。还应该在烤箱温度、面团导热性等因素发生微笑变化的条件下观察对烤盘形状确定的影响，好的烤盘的形状不应该依赖于这些因素。

3. 评审

3.1 评审准则

"最佳巧克力蛋糕烤盘"问题包含了以下5个部分:

• 建立烤盘外部的热量分布模型

  建立的模型必须是合理的模型，没有一个给予实际材料的合理模型，论文不会得到好的评价

• 求解烤箱中能够容纳的烤盘的最大数量问题

  烤箱中能够容纳烤盘数量最大化问题是一个相对简单的问题，如果它是论文中唯一强调的内容，得分也不会好

• 求解烤盘中热量分布均匀性的最大化问题

  确认热量在烤盘边缘的均匀分布更重要。需要分析多种烤盘的形状，并进行比较。如果只考虑一种形状，得分会较低。

• 求解烤盘数量与热量分布的组合最优化问题

  至少考虑一个介于0和1之间的 p值。一篇好的论文会考虑 p 值的变化范围，指出 p 值在哪个范围内有较好的结果，并解释为何 p 值在某些范围内效果比较差。

• 烤盘广告

  最后要写一个关于烤盘的广告，这个广告应当突出我们射界的烤盘形状的优越性，要注意的是技术性描述不不宜过多。

3.2 特奖论文获奖团队

2013年A题最佳巧克力蛋糕烤盘特奖获奖团队

4. 参考资料

《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究 第5辑》王杰，吴孟达，刘易成编著北京：高等教育