2-SAT 学习笔记

$\text{Introduction}$

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2-SAT 是用来解决多个类似 A为 true/false 或者 B 为 true/false 的约束之类的问题。
比如说有两个约束：A=true 或 B=false 和 B=true 或 C=true ，此时就可以这样：A=true,B=true,C=true 。
$\text{Before you read}$

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在看懂这篇文章之前，你需要学会 $\text{Tarjan}$ 。
$\text{Solution}$

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首先，对于一个约束，例如 A=true 或 B=false ，要让他满足条件，那么 A 不满足条件时 B 一定满足条件，B 不满足条件时 A 一定满足条件 。例如 A=false 的时候 B=false， B=true 的时候 A=true。

那么我们可以根据这两个条件来进行建边。为方便表示，定义 $A_f$ 表示 A=false，$A_t$ 表示 A=true 。根据上面的条件，可以建 $A_f\to B_f$ 和 $B_t\to A_t$ 这两条边。

现在我们建出了一个图，我们知道，强连通分量中的点是可以互相到达的。也就是说，这里面的一个点满足条件，这个强连通分量里的点也一定满足条件 。于是我们知道，如果有一个变量 $A$，$A_t$ 和 $A_f$ 在同一个强连通分量里面，则无解。所以在这个图上面跑一遍 $\text{Tarjan}$ 即可。

现在判完了无解，我们考虑如何输出。

其实在 $\text{Tarjan}$ 的过程中，已经标好了连通块的顺序，我们只需要看哪个排在前面，就输出哪个就行了。但是注意，$\text{Tarjan}$ 跑出来的拓扑序时倒序，所以在判断时输出的是编号较大的那一个答案。
$\text{Code}$

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【实现细节】
$1.$ 注意建边有没有建错。
$2.$ 输出答案比较时符号要对。
$3.$ 确保你的 $\text{Tarjan}$ 是对的。
$4.$ 数组要开双倍。

#include 

using namespace std;

const int   N=2000010;

vector<int> road[N];
stack<int>  st;
int         dfs[N],conn[N];
int         belong[N];
int         state[N];
int         tot,blk;
int         n,m;

void tarjan(int root)
{
    dfs[root]=conn[root]=++tot;
    st.push(root);
    state[root]=1;
    for(int i=0; i<road[root].size(); i++)
    {
        int temp=road[root][i];
        if(!dfs[temp])
            tarjan(temp),conn[root]=min(conn[root],conn[temp]);
        if(state[temp])
            conn[root]=min(conn[root],dfs[temp]);
    }
    if(dfs[root]==conn[root])
    {
        blk++;
        while(st.top()!=root)
        {
            belong[st.top()]=blk;
            state[st.top()]=0;
            st.pop();
        }
        belong[root]=blk;
        state[root]=0;
        st.pop();
    }
    return;
}

void work()
{
    /* Code */
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int x,y,z,alpha;
        cin>>x>>y>>z>>alpha;
        road[x+n*(1-y)].push_back(z+n*alpha);
        road[z+n*(1-alpha)].push_back(x+n*y);
    }
    for(int i=1; i<=2*n; i++)
        if(!dfs[i])
            tarjan(i);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(belong[i]==belong[i+n])
        {
            cout<<"IMPOSSIBLE"<<'\n';
            return;
        }
    cout<<"POSSIBLE"<<'\n';
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout<<(belong[i]>belong[i+n])<<' ';
    cout<<'\n';
    return;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    t=1;
    while(t--)
        work();
    return 0;
}