13 | 加法器：如何像搭乐高一样搭电路（上）？

如何通过电路，在硬件层面设计最基本单元：门电路，做简单的 “与（AND）”“或（OR）”“NOT（非）”和“异或（XOR）”，下面这些门电路标识组合起后续的电路。

计算机硬件端最基本“积木”，包含十亿级别晶体管CPU，都是由这样一个个的门电路组合成的。

一、异或门和半加器

基础门电路，输入、出都是两个单独的 bit。对 2 个 8 位（bit）数，与、或、非这样的简单逻辑运算，连续摆放 8 个开关（代表一个 8 位数）。两组开关，从左到右，上下单个用“与门”或者“或门”连起，两个 8 位数的 AND 或者 OR 运算。

整数加法电路稍微复杂，8 位无符号（不需用补码表示负数、“0”或“1”都是正数）整数的加法。

8 位数整数用 8 个 bit，2 个 8 位整数加法，就是 2 排 8 个开关。结果也是一个 8 位的整数，什么样的门电路，能够连接起加数和被加数，得到最后期望的和。

加法器：把这三排开关电路连起来

列竖式计算。从左到右，一位位逢 2 进 1计算。输入4 种组合，00、01、10、11就是我在上一讲留给你的思考题里面的“异或门（XOR）”。

讲与、或、非门，很容易就能和程序里的“AND（ & ）”“ OR（ | ）”和“ NOT（ ! ）”对应。为什么需要“异或（XOR）”，逻辑运算里面没有，作为一个基本电路。异或门就是最简单的整数加法，所需要使用的基本门电路。

有且仅有输入两位都是 11 时（进位才会是 1），还需向更左侧一位进位。对应与门。

通过异或门计算出个位，一个与门计算出是否进位，通过电路算出一个一位数的加法。两个门电路打包，就叫作半加器（Half Adder）。

半加器的电路演示

二、全加器

半加器解决个位加法，放到二位上就不够用。竖式是二进制加法，从右往左数，第二列（是二位）不是十位。往左，四位、八位。

二位还需加上进位信号（来自个位），一共三个数（加数和被加数）相加。目前组合而成半加器，输入都只能两个 bit，就是两个开关。怎么办？

解决方案：两个半加器 + 或门 = 全加器。输出：

（1）第一个半加器，我们用和个位的加法一样的方式，得到是否进位 X 、加后结果 Y。

（2）结果 Y，和个位数相加后输出的进位信息 U，再连接到半加器上，拿到是否进位信号 V 和对应加和后结果 W。

W 是二位上留下结果。两个半加器进位输出，作为一个或门的输入连接起来，只要两次加法中任何一次需要进位，二位上，就会向左侧的四位进一位。三个 bit 相加，即都是 1，也会进一位。

全加器，两个 8 bit 数的加法很容易了。只要把 8 个全加器串联。个位的全加器的进位信号作为二位全加器的输入信号，二位作为四位进位信号。串接八层就得到支持 8 位数加法的算术单元。扩展只要串联输入位和全加器。

8 位加法器可以由 8 个全加器串联而成

个位只需一个半加器，或全加器进位输入始终是 0。个位没有来自更右侧的进位。左侧的一位输出的进位信号，而是加法是否溢出（并不是再进一位）。

int 16 位整数加法，结果是16 位数，怎么知道是否溢出？并没有留下第 17 位来记录。

加法器结果，电路信号标识是否溢出，把这个信号输出给到硬件其他标志位里，让计算机知道结果是否溢出。这就是为什么写程序时，知道计算结果是否溢出在硬件层面得到支持。

三、总结延伸

门电路计算小功能，像搭乐高。

两个门电路，搭一个半加器，计算机中，软、硬件中重要的设计思想，分层。

简单到复杂，上面的一层，只需考虑怎么用下一层组件搭建出自己的功能，不需要下沉到更低层的其他组件。就像你并没有深入学习过计算机组成原理，可直接通过高级语言撰写代码。

硬件层面，通过门电路、半加器、全加器搭出加法器。用来算术逻辑计算的组件叫作 算术逻辑单元ALU，。打造强大CPU 时，只需把门电路组合成ALU，不关注最细颗粒门电路（当成完成基础计算黑盒子）

CPU 设计和数据通路时，以 ALU 为一个基础单元来解释问题，就够了。

补充阅读

出于性能考虑，实际 CPU 里面使用的加法器，比起我们今天讲解的电路还有些差别，会更复杂一些。真实的加法器，使用的是一种叫作超前进位加法器的东西。北京大学在 Coursera 上开设的《计算机组成》课程中的 Video-306 “加法器优化”一节，了解一下超前进位加法器的实现原理，为什么要使用它。

课后思考

这一讲，讲解了无符号数的加法器是怎么通过电路搭建。如果是有符号数（补码表示），这个加法器是否可以实现正数加负数运算呢？如果不行，我们应该怎么搭建对应的电路呢？