本笔记将系统地整理常微分方程的理论与方法, 并记录对这些问题的思考.
自然界的量变, 很多都是连续的, 然而如何刻画其变换规律, 这是一个重要的事情, 微分方程作为描述自然界和人类社会中某些量的变化规律的工具, 具有十分重要的意义, 可以说, 没有微分方程, 我们很难描述我们的世界.
我们将含义未知函数及其导函数的方程称为微分方程. 如果一个微分方程的未知函数是一个单变量函数, 那么我们称为常微分方程, 如果一个未知函数是一个多变量函数, 则我们称为偏微分方程.
事实上, 这个是描述性定义, 其含义还有许多不清楚之处, 不过也只能如此, 后续我我们会逐渐来讨论这个事情, 对微分方程进行描述性的描述只是为了表述问题的方便, 没有别的.
比如, 我们想寻找一个未知函数 , 使得其满足
这个方程形式虽然简单, 显然现在还没有系统发展出解决这类方程的方法与技巧.
可以毫不客气地说, 人类今天多微分方程的认识依然还处于很低级的水平, 很多的微分方程是不知道怎么解的, 当然作为科技工作者, 我们却不得不思考, 我们为什么不会解微分方程.
不过也不可妄自菲薄, 自微分诞生以来, 经过很多先哲的努力探索, 的确对微分方程的求解积累了大量的方法和理论, 本笔记的核心就期望记录下这些先哲们创立起来的方法进行一个系统的汇总.
定义: 我们称形如
的方程为常微分方程, 其中 是给定的已知函数.
注意, 此处 已知的多元函数, 从技术上将, 我们当然可以将 扩展为无穷多个变量的多元函数, 不过这种情形将会非常的复杂. 另外, 这样的表述是形式上的, 微分方程真正的关键是含义未知函数及其导函数的方程, 因此自变量用什么表达本身不重要, 因此更好的表示方法应该是形如
的方程称为微分方程, 这样的表示也展示了 Newton 导数记号的好处, 事实上, 一个函数的自变量用什么来标点, 因变量用什么来表达是不重要的, 重要的是函数本身, 也就那个对应规则.
问题: 是否存在函数 使得
定义: 对于函数空间 上的函数 满足微分方程
则我们称 是微分方程
在函数空间 上的一个古典解.
其中上面的导数理解为 Cauchy 导数.
注意: 许多文献在定义微分方程的解时都限制 为区间, 这个处理是技术性的, 目标是为了使得 Lagrange 定理成立, 从而容易找到任意两个解的关系, 然后将后续的处理归结为拓扑学的问题, 不过在此我们却不想这样做, 因为在确定一个微分方程的解的时候, 很多情况下, 在哪个函数空间去求解本身也不是平凡的, 如何选择合适的函数空间来讨论微分方程模型所翻译的规律本身亦很重要.