【python】用scipy生成特殊矩阵
文章目录
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- 循环矩阵
- 汉克尔矩阵
- 费德勒矩阵
- 阿达马矩阵
- 莱斯利矩阵
- 希尔伯特及其逆矩阵
- 帕斯卡及其逆矩阵
scipy.linalg中提供了一系列特殊矩阵的生成方法，包括循环矩阵、汉克尔矩阵、费德勒矩阵、阿达马矩阵、莱斯利矩阵、希尔伯特及其逆矩阵、帕斯卡及其逆矩阵等。
循环矩阵
现有一向量 c = [ c 0 , c 1 , ⋯ , c n ] c=[c_0, c_1,\cdots,c_n] c=[c0,c1,⋯,cn]，则circulant(c)返回一个矩阵，记作 A A A，矩阵第 i i i行第 j j j列元素为 a i j a_{ij} aij，则 a i j = c mod ( i − j , n ) a_{ij} = c_{\operatorname{mod}(i-j, n)} aij=cmod(i−j,n)
A = circulant([1,2,3])
print(A)
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[[1 3 2]
[2 1 3]
[3 2 1]]
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汉克尔矩阵
汉克尔矩阵和循环矩阵十分相似，不过在向左移位的过程中，hankel(c, r=None)在末尾直接赋0。若r不为None，则通过r对末位进行赋值
print(hankel([1,2,3,4], [0,7,7,8,9]))
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[[1 2 3 4 7]
[2 3 4 7 7]
[3 4 7 7 8]
[4 7 7 8 9]]
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费德勒矩阵
现有一向量 a = [ a 0 , a 1 , ⋯ , a n ] a=[a_0, a_1,\cdots,a_n] a=[a0,a1,⋯,an]，则fiedler(a)返回一个矩阵，记作 F F F，设 F F F第 i i i行第 j j j列元素为 f i j f_{ij} fij，则 f i j = ∣ a i − a j ∣ f_{ij}=\vert a_i-a_j\vert fij=∣ai−aj∣，所以显而易见，其对角元素均为0。
F = fiedler([1,2,4,8,16])
print(F)
'''
[[ 0 1 3 7 15]
[ 1 0 2 6 14]
[ 3 2 0 4 12]
[ 7 6 4 0 8]
[15 14 12 8 0]]
'''
阿达马矩阵
阿达马矩阵的每个元素都是 ± 1 \pm1 ±1，每行都互相正交，常用于纠错码。在scipy.linalg中，hadamard(n, dtype)根据n来生成标准的 n × n n\times n n×n阿达马矩阵，需要注意 n n n必须为偶数，dtype为可选参数，用于指明矩阵的数据类型。
print(hadamard(4))
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[[ 1 1 1 1]
[ 1 -1 1 -1]
[ 1 1 -1 -1]
[ 1 -1 -1 1]]
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莱斯利矩阵
leslie(f, s)，其输入 f f f和 s s s两个向量，输出矩阵的形式为
[ f 1 f 2 ⋯ f m − 1 f m s 1 0 ⋯ 0 0 0 s 2 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ s m − 1 0 ] \begin{bmatrix} f_1&f_2&\cdots&f_{m-1}&f_m\\ s_1&0&\cdots&0&0\\ 0&s_2&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&s_{m-1}&0 \end{bmatrix} f1s10⋮0f20s2⋮0⋯⋯⋯⋯fm−100⋮sm−1fm00⋮0
print(leslie([0.1, 2.0, 1.0, 0.1], [0.2, 0.8, 0.7]))
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[[0.1 2. 1. 0.1]
[0.2 0. 0. 0. ]
[0. 0.8 0. 0. ]
[0. 0. 0.7 0. ]]
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希尔伯特及其逆矩阵
则hilbert(n)返回一个 n × n n\times n n×n矩阵 H H H，第 i i i行第 j j j列元素 h i j = 1 i + j + 1 h_{ij}=\frac{1}{i+j+1} hij=i+j+11。
print(hilbert(3))
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[[1. 0.5 0.33333333]
[0.5 0.33333333 0.25 ]
[0.33333333 0.25 0.2 ]]
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invhilbert(n, exact=False)可生成 n × n n\times n n×n希尔伯特矩阵的逆矩阵，当exact为False时，返回np.float64类型矩阵；否则返回np.int64类型。
帕斯卡及其逆矩阵
帕斯卡矩阵存在一个递推关系，即 a i j = a i − 1 , j + a i , j − 1 a_{ij}=a_{i-1,j}+a{i,j-1} aij=ai−1,j+ai,j−1，且 a i 0 = 1 ， a 0 j = 1 a_{i0}=1，a_{0j}=1 ai0=1，a0j=1，从形状上看就是倒过来的帕斯卡三角。在pascal(n, kind, exact)函数中，kind可选symmetric, lower,upper，分别表示对称矩阵、下三角、上三角矩阵，默认symmetric。
print(pascal(4))
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[[ 1 1 1 1]
[ 1 2 3 4]
[ 1 3 6 10]
[ 1 4 10 20]]
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invpascal可生成逆帕斯卡矩阵，其参数与pascal相同。