线性基学习笔记

线性基学习笔记

前言

这几天遇到了一道线性基的题目，补一下之前的知识点。

概念

线性基是一个数的集合，并且每个序列都拥有至少一个线性基。

三大性质

1. 线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。
2. 线性基是满足性质$1$的最小的集合。
3. 线性基没有异或和为$0$的子集。

构造

设一个数组$d$表示序列$a$的线性基，下标从$0$开始算，对于序列中的每一个数$x$，尝试将它插入线性基里面去。

void insert (LL x) {
    fd (i , 60 , 0) {
        if (x & (1ll << i)) {
            if (d[i]) x ^= d[i];
            else {
                d[i] = x;
                return;
            }
        }
    }
}

我们设$x_{(2)}$为$x$的二进制数。
由此我们还可以推理出：若$d_i!=0$，则$d[i{]}_{(2)}$的$i+1$位一定位$1$并且$d[i{]}_{(2)}$的最高位就是$i+1$
补充一下关于异或的一点点小知识
$a⨁b⨁c=0\Leftarrow \Rightarrow a⨁b=c\Leftarrow \Rightarrow a⨁c=b\Leftarrow \Rightarrow b⨁c=a$

应用

求序列中元素异或值的最大值。

题目链接

题目描述

给一个长度为$n$的序列，你可以从中取若干个数，使得它们异或值最大.

数据规模

$n\le 50s_i\le 2^{50}$

code

#include 
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)
#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)
using namespace std;
int n;
long long a , d[65];
void insert (LL x) {
    fd (i , 60 , 0) {
        if (x & (1ll << i)) {
            if (d[i]) x ^= d[i];
            else {
                d[i] = x;
                return;
            }
        }
    }
}
void fans () {
    long long ans = 0;
    for (int i = 60 ; i >= 0 ; i --) {
        ans = max (ans , ans ^ d[i]);
    }
    printf ("%lld" , ans);
}
int main () {
    scanf ("%d" , &n);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        scanf ("%lld" , &a);
        insert (a);
    }
    fans ();
}

求序列中元素异或值的第$k$小值。

题目描述

给一个长度为 的序列，你可以从中任取若干个数进行异或，求其中的第 小的值。

数据规模

$1\le n,m\le 10^5$ $0\le s_i\le 2^{50}$

code

#include 
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)
#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)
#define LL long long
using namespace std;
LL ans[105] , n , m , k , d[155] , cnt;
LL read () {
    LL val = 0 , fu = 1;
    char ch = getchar ();
    while (ch < '0' || ch >'9') {
        if (ch == '-') fu = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        val = val * 10 + (ch - '0');
        ch = getchar ();
    }
    return val * fu;
}
void insert (LL x) {
    fd (i , 50 , 0) {
        if (x & (1ll << i)) {
            if (d[i]) x ^= d[i];
            else {
                d[i] = x;
                return;
            }
        }
    }
}
void rebuild () {
    fd (i , 50 , 0) {
        for(int j = i - 1 ; j >= 0 ; j --) {
            if (d[i] & (1ll << j))
                d[i] ^= d[j];
        }
    }
    fu (i , 0 , 50) {
        if(d[i]) 
            ans[cnt++] = d[i];
    }
}
void kth () {
    LL sum = 0;
    if (cnt != n) k --;
    if(k >= (1ll << cnt)) {
        printf ("-1\n");
        return;
    }
    
    fd (i , 50 , 0) {
        if (k & (1ll << i)) 
            sum ^= ans[i];
    }
    printf ("%lld\n" , sum);
}
int main () {
    LL a;
    n = read ();
    fu (i , 1 , n) {
        a = read ();
        insert (a);
    }
    rebuild ();
    m = read ();
    fu (i , 1 , m) {
        k = read ();
        kth ();
    }
}