多元微积分_曲线积分1

对于函数f（x）图像下面的面积积分

我们通过输入参数x的微小增量dx，作为增加的长方形的宽，以函数值f（x）作为高

我们有 面积=宽×高

再将区间[a,b]内的面积的微分累加

用公式表示 ${\int }_a^{b}f(x)\ast dx$

（积分表示的不是精确的值，只是用无限微分的思想来无限接近实际值，所以有积分的等式只能用“≈”）

实例一

将问题再复杂一点

有函数f(x,y)

参数化x，y。
x=g(t)
y=h(t)

定义输入t的边界为 a<=t<=b

我们可以得到xy平面内的曲线

定义第三个轴z轴垂直与xy平面

由函数f(x,y)可以得到f(x,y)平面

将曲线映射到f(x,y)平面

求这两条曲线之间的面积

由微积分思想我们将曲线弧长无限微分为ds

ds乘以高度作为一小块长方形的面积，这些面积从a点到b点的积分就是我们 要求的面积

用公式表示：

如何求ds，ds表示弧长的微分

当ds足够小时，可以将ds近似成直线，在ds，dx，dy这三条变形成的三角形中，有勾股定理有

$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$

那么ds=$\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$

将ds带入积分

但是我们的积分是关于t的积分，继续将ds表示成关于t的表达式

乘以dt/dt,即乘以1不影响表达式

带入得到

实例二

f(x,y)=xy

x=cos(t)
y=sin(t)

定义域0<=t<=$\pi /2$

求由xy平面曲线映射到f(x,y)曲面之间的面积

而ds等于

带入x，y

带入ds

二我们可以算出x，y的导数

带入

而$sin(t{)}^2+cos(t{)}^2=1$

等式简化为

而sin（t）的导数就是 cos(t)*dt

标量场内的曲线积分与该曲线的反向积分相等，也可以说积分与方向无关

从图像上看：

数学推导：