python辗转相除法求最大公约数最小公倍数_辗转相除法求最大公约数/最小公倍数...

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2009

辗转相除法求最大公约数：

辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》(第VII卷，命题i和ii)中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

证明：

设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数gcd(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq1＋r1(0≤r1＜b)。若r1=0，则gcd(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q2＋r2(0≤r2＜r1)。若r2＝0，则gcd(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为gcd(a，b)。

算法:

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数(0≤r＜b)

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

c/c++ 代码：

递归法：

int gcd(int a, int b)  //(a>b)

{

if(a==0 || b==0)

return 0;

int t=a%b;

if(t==0)

return b;

return gcd(b, t);

}

循环法：

int gcd(int a, int b) //a>b

{

if(a==0 || b==0)

return 0;

while(b!=0)

{

int t=a%b;

a=b;

b=t;

}

return a;

}

另：考虑大数时，需要分析可行性，由此得到一些简化方法，譬如：

若x, y均为偶数，f(x, y)= 2 * f(x/2, y/2)= 2 * f(x>>1, y>>1)

若x为偶数，y为奇数，f(x, y)= f(x/2, y)= f(x>>1, y)

若x为奇数，y为偶数，f(x, y)= f(x, y/2)= f(x, y>>1)

若x, y均为奇数，f(x, y)= f(x, x - y)，

那么在f(x, y)= f(x, x - y)之后，(x - y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作。

因此，最坏情况下的时间复杂度是O(log2(max(x, y))。

考虑如下的情况：

f(42, 30)= f(1010102, 111102)

= 2 * f(101012, 11112)

= 2 * f(11112, 1102)

= 2 * f(11112, 112)

= 2 * f(11002, 112)

= 2 * f(112, 112)

= 2 * f(02, 112)

= 2 * 112

= 6

根据上面的规律，具体代码实现如下：

代码清单2-16

BigInt gcd(BigInt x, BigInt y)

{

if(x < y)

return gcd(y, x);

if(y == 0)

return x;

else

{

if(IsEven(x))

{

if(IsEven(y))

return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);

else

return gcd(x >> 1, y);

}

else

{

if(IsEven(y))

return gcd(x, y >> 1);

else

return gcd(y, x - y);

}

}

}

有了最大公约数，最小公倍数则很简单了，a*b/gcd(a,b).

如有任何看法，欢迎交流：)

mosesyuan at gmail.com