CSP-S 2021 题解

我的 CSP-S 2021 游记

T1 廊桥分配（airport）

这次 T1 带有很大的迷惑性。

其实吧本身这个 T1 不难，以国内区为例子，我们设 $s_u$ 表示当分配给国内区 $u$ 个廊桥的时候国内区有几架飞机能够停靠，不难发现如果规定 $s_u$ 表示有几架飞机刚好停在第 $u$ 个廊桥，就可以直接单点修改然后做一遍前缀和。

由于飞机停靠遵循先来后到原则，因此实际上求出 $s_u$ 数组是可以用两个优先队列解决的，复杂度 $O(n\log n)$。

对国内区和国际区分别做一次，得到 $s1,s2$ 两个数组之后，答案就是 ${\max }_{i=0}^n(s{1}_i+s{2}_{n-i})$。

这个做法倒是挺简单的，就是一个贪心思路，但问题是考场上给的两个小样例很具有迷惑性，让人以为如果设 $f(x)=s{1}_x+s{2}_{n-x}$，这个 $f(x)$ 是满足单峰性的，然后很多人就写了个三分于是愉快的挂掉了（）

实际上考场上的大样例输出来看一眼就知道 $f(x)$ 并不满足单峰性，然后就知道三分是假的了。

当然那个大样例的图画出来大概是这样的：

也就是说实际上大样例面对部分三分是能过的，还是相对比较水，当然至少有些人的三分被卡了。

Update：貌似三分的时候 $r-l>50$ 之后转暴力就能场切……

T2 括号序列（bracket）

先咕着。

T3 回文（palin）

这道题我考场上的时候敲了个 $O(2^n)$（不是 $O(2^{2n})$） 的代码，然后成功搞到 40pts。

进入正题。

我们设 $Matc{h}_i$ 表示互相相等的两个数，另外那个数的位置，也就是说如果 $a_i=a_j$，那么 $Matc{h}_i=j,Matc{h}_j=i$。

然后我们就可以得到一个奇怪的性质：设每次取出 $a_i$ 之后我们在 $Matc{h}_i$ 位置上打个标记，那么除第一个数之外，每次取出的数 $a_j$ 其 $Matc{h}_j$ 位置左右两边有且仅有一个位置是有标记的。

证明的话其实也比较简单：

我们发现箭头指的那个点左右两边都被打标记了，这个数所匹配的另一个数比左右两个数都要迟一点取出，由于取出的数列是个回文串，那么这个打箭头的数必须要先被取出，可是这样的话左右两边就有一个数要被取出了，这样就打破了回文串的性质。

至于说左右两边一个都没有为什么不可行（第一个数除外），也是可以类似证明的，因为有数字被你卡在里面了。

然后我们根据上述性质贪心的从左边选，找到解就输出，没了。

这个复杂度是 $O(T\sum n)$ 的，但是我不会证qwq

T4 交通规划（traffic）

先咕着。