tarjan 缩点笔记

强联通分量

对于图中的两个点 $u$ 和 $v$，若分别存在一条路径使得 $u\to v,v\to u$，则称 $(u,v)$ 强联通。

若对于一张图 $G$ 中任意两个点都强联通，则称 $G$ 为一个强连通图。

一张图往往由多个强联通子图组成（各个强联通图之间可能会有包含关系），对于那些最大的强联通子图（不存在包含关系），我们称其为强联通分量。

不严谨的说，强联通分量就是环。

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缩点

若一个图是 $DAG$ （有向无环图），我们可以根据其拓扑序的无后效性，在图上跑各种 $dp,dfs$，从而找到解。但如果一个图有环，那么后效性就会使我们非常尴尬（环会导致起初遍历过的点的答案发生改变）。

但是往往会有一些非常明显的贪心思路，例如一个环的贡献其实就是等于环上所有点的贡献之和。
因此，我们就可以把一个环 缩 成一个超级点。对图中的所有环进行类似操作，最终图就会转变成一个 $DAG$，且保留了环的有效贡献，此时我们就可以在图中放心跑各种无后效性的算法。

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Tarjan

• 横向边：若 $u\to v$，且 $v\to z$ ， $z\nrightarrow u$，则显然 $z$ 不与 $u$ 在同一个强联通分量中，称 $v\to z$ 为横向边。
• 后向边：若 $u\to v$，且 $v\to z$ ， $z\to u$，则显然 $u,v,z$ 在同一个强联通分量中，称 $v\to z$ 为后向边。

显然，横向边不构成一个包含 $u$ 的环，后向边反之。因此，找强联通分量即为找到最外层的关于 $u$ 的后向边。

我们可以用 $dfs$ 中的栈来实现上述过程，因为 $dfs$ 遍历的是一条由可以到达 $u$ 的点和 $u$ 可以到达的点组成的路径，我们可以借此来快速判断某一点是否能到达 $u$。

• $df{n}_i$：时间戳，表示 $i$ 被遍历到的时间
• $lo{w}_i$：表示在所有能到达 $i$ 的点集中，$i$ 能到达的 $dfn$ 最小的点的遍历时间。即 $i$ 所在的强联通分量中被遍历到最早的点的遍历时间。
• $belon{g}_i$：表示 $i$ 所在的强联通分量的编号。
• $vi{s}_i$：判断点 $i$ 是否在栈中的标记，若在，则 $i$ 可到达栈中在它之后的所有点。（考虑 $dfs$ 的原理，遍历一条链）

code:

stack<int> p;
void tarjan(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++tt;
	p.push(u);
	vis[u]=1;  //在栈中
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].v;
		if(!dfn[v])  //还未遍历过
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]); //尝试用 v 更新 u
		}
		else if(vis[v]) low[u]=min(low[v],low[u]);  //v可以到达u，在同一个强联通中，因此选最早被遍历的
	}
	if(dfn[u]==low[u])  //u点为所在强联通分量中最早被遍历到的点
	{
		scc++;
		while(1)//栈中，u点之后的所有点都是与u在同一个强联通分量中，与u不同的都已经被处理过了弹出了
		{
			int now=p.top();
			//记录当前强联通分量的贡献
			belong[now]=scc;
			vis[now]=0;
			p.pop();
			if(now==u) break;
		}
	}
	return ;
}

参考文献：

初探 tarjan 算法

TarJan，你真的了解吗

强联通分量算法解析

tarjan 详解

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例题讲解：

1. P3387 【模板】缩点

$solution$：显然，如果是一个环，那么肯定，把这个环中所有点都遍历一遍是这个环的最优贡献，因此我们按照此贪心利用 tarjan 缩环为点，得到一张 $DAG$，然后拓扑后跑 $dp$ 即可。

2. P2341 受欢迎的奶牛

$solution$：
首先，两头明星奶牛 $u,v$ 肯定在同一强联通分量中。
证明：根据明星奶牛的定义，$\forall z\in G,z\to u$ 且 $\forall z\in G,z\to v$，因此 $u\to v$ 且 $v\to u$，所以 $u,v$ 在同一个强联通分量中。

第二，明星奶牛所在的强联通分量是不会有出边的。
证明：考虑明星奶牛所在的强联通分量为 $u$，有出边为 $u\to v$。由于所有点都可以到达 $u$，因此所有点都可以经过 $u$ 到达 $v$，也就是强联通分量 $v$ 也是由明星奶牛构成的，但这与我们上一条总结的结论矛盾，因此明星奶牛所在的强联通分量是不会有出边的。

有了这两条结论，做法明了：缩点后找出边为零的点，若改点唯一，则答案为该强联通分量的大小，否则不存在明星奶牛。

3. P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易

显然环中的点任意可达，因此这个环买入的最小值为所有点的 $\min$ ，出售的最大值为所有点的 $\max$，以此来缩点，更新强联通分量的权值，在 $DAG$ 上拓扑跑 $dp$ 即可。

设 $fmi{n}_i$ 为到达 $i$ 点时的最小买入价格，则有 $fmi{n}_i=\min (fmi{n}_j,a_i)$，其中 $j$ 为可以到达 $i$ 的点，$a_i$ 为 $i$ 点（实际上是一个强联通分量）的最小买入值。

设 $f_i$ 为到达 $i$ 点的最大利润，则有 $f_i=\max (f_j,b_i-fmi{n}_i)$，其中 $j$ 为可以到达 $i$ 的点，$b_i$ 为 $i$ 点（实际上是一个强联通分量）的最大出售值。

答案即为 $f_{n点所在的强联通分量编号}$