第 9 章 指数函数和对数函数

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Time: 2019-11-27
Title:第 9 章 指数函数和对数函数

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本章重点：

1. 回顾指数函数和对数函数的基本知识, 以及两者是如何相互关联的;
2. e 的定义和性质;
3. 如何对指数函数和对数函数求导;
4. 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限问题;
5. 对数函数的微分;
6. 指数增长和指数衰变;
7. 双曲函数

9.1 基 础 知 识

指数法则、对数和指数的关系, 以及对数法则

9.1.1 指数法则

(1) : 任意非零数的零次幂是 1.
(2) : 一个数的一次幂正好是该数本身.
(3). 当将两个底数相同的幂相乘时, 将指数相加.
(4) 当将两个底数相同的幂相除时, 将分子的指数减去分母的.
(5)当取幂的幂时, 将指数相乘.

对数的指数就是原始的数 指数的对数就是原始的数 (前提是底数相同!)

9.1.2 对数法则

(1)
(2)
(3)乘积的对数是对数的和.
(4) 商的对数是对数的差.
(5) 对数将指数移至对数之前. 在该方程中, y 可以是任意的实数 (正的、负的或零).
(6) 换底法则：对于任意的底数 b > 1 和 c > 1 及任意的数 x > 0

对数把运算都降级了。

9.2 e 的定义

探索 e 从何而来的方法会涉及一点金融问题(复利)

以年利率 r 连续计复利, t 年后的财富 =

9.3 对数函数和指数函数求导

9.4 求解指数函数或对数函数的极限

1.非常重要的一点是, 注意到你是在哪里计算函数的极限的：是在附近 (也就是说, 小的数), 还是在 (也就是说, 大的数), 又或者在某个既不大也不小的数附近.

2.当虚拟变量本身在分母上时, 极限可能是一个伪装的导数.

3.指数函数增长迅速： 不管 n 有多大,

4.用替换 x 这一技巧可以将对数函数在附近的行为。

9.5 取对数求导法

令

也可以使用.

1.两边求对数 2.隐函数求导 3.代入

有指数和对数的话就要考虑用对数求导法化简。

9.6 指数增长和指数衰变

如果 其中 A 为某个常数.

指数增长方程：

9.7 双 曲 函 数

双曲余弦函数：.

双曲正弦函数：.

导数：

双曲正割：
双曲余割：

双曲正切：
双曲余切：

导数：

除了三角正割导数结果没有负号，其余竟然一致。