数据结构与算法(一)【数组】【详解及实战】

一、什么是数组？

每一种编程语言中，基本都有数组这种数据类型。每个有编程经验的人都不会陌生，它不仅仅是一种编程语言中的数据类型，还是一种最基础的数据结构。虽然简单，但是里面涉及到的知识点还是值得深入研究的。

在大部分编程语言中，数组都是从 0 开始编号的，但你是否下意识地想过，为什么数组要从 0 开始编号，而不是从 1 开始呢？ 从 1 开始不是更符合人类的思维习惯吗？

教科书中对于数组的定义如下。

数组（Array）是一种线性表数据结构。它用一组连续的内存空间，来存储一组具有相同类型的数据。

那如何理解中间的线性表、连续的0内存空间和相同类型的数据。

1.1 线性表

顾名思义，线性表就是数据排成像一条线一样的结构。每个线性表上的数据最多只有前和后两个方向。其实除了数组，链表、队列、栈等也是线性表结构。

1.2 非线性表

比如二叉树、堆、图等。之所以叫非线性，是因为，在非线性表中，数据之间并不是简单的前后关系,往往具有多前或者多后。

1.3 连续的内存空间和相同类型的数据

正是因为这两个限制，它才有了一个堪称“杀手锏”的特性：“随机访问”。但有利就有弊，这两个限制也让数组的很多操作变得非常低效，比如要想在数组中删除、插入一个数据，为了保证连续性，就需要做大量的数据搬移工作。

说到数据的访问，那你知道数组是如何实现根据下标随机访问数组元素的吗？

我们拿一个长度为 10 的 int 类型的数组 int[] a = new int[10]来举例。在我画的这个图中，计算机给数组 a[10]，分配了一块连续内存空间 1000～1039，其中，内存块的首地址为 base_address = 1000。

我们知道，计算机会给每个内存单元分配一个地址，计算机通过地址来访问内存中的数据。当计算机需要随机访问数组中的某个元素时，它会首先通过下面的寻址公式，计算出该元素存储的内存地址：

a[i]_address = base_address + i * data_type_size

其中 data_type_size 表示数组中每个元素的大小。我们举的这个例子里，数组中存储的是 int 类型数据，所以 data_type_size 就为 4 个字节。这个公式非常简单。

这里我要特别纠正一个“错误”。我在面试的时候，常常会问数组和链表的区别，很多人都回答说，“链表适合插入、删除，时间复杂度 O(1)；数组适合查找，查找时间复杂度为 O(1)”。

实际上，这种表述是不准确的。数组是适合查找操作，但是查找的时间复杂度并不为 O(1)。即便是排好序的数组，你用二分查找，时间复杂度也是 O(logn)。所以，正确的表述应该是，数组支持随机访问，根据下标随机访问的时间复杂度为 O(1)。

二、插入和删除为什么低效？

2.1 插入操作

假设数组的长度为 n，现在，如果我们需要将一个数据插入到数组中的第 k 个位置。为了把第 k 个位置腾出来，给新来的数据，我们需要将第 k～n 这部分的元素都顺序地往后挪一位。那插入操作的时间复杂度是多少呢？你可以自己先试着分析一下。

如果在数组的末尾插入元素，那就不需要移动数据了，这时的时间复杂度为 O(1)。但如果在数组的开头插入元素，那所有的数据都需要依次往后移动一位，所以最坏时间复杂度是 O(n)。 因为我们在每个位置插入元素的概率是一样的，所以平均情况时间复杂度为 (1+2+…n)/n=O(n)。

如果数组中的数据是有序的，我们在某个位置插入一个新的元素时，就必须按照刚才的方法搬移 k 之后的数据。但是，如果数组中存储的数据并没有任何规律，数组只是被当作一个存储数据的集合。在这种情况下，如果要将某个数据插入到第 k 个位置，为了避免大规模的数据搬移，我们还有一个简单的办法就是，直接将第 k 位的数据搬移到数组元素的最后，把新的元素直接放入第 k 个位置。

利用这种处理技巧，在特定场景下，在第 k 个位置插入一个元素的时间复杂度就会降为 O(1)。这个处理思想在快排中也会用到。

2.2 删除操作

跟插入数据类似，如果我们要删除第 k 个位置的数据，为了内存的连续性，也需要搬移数据，不然中间就会出现空洞，内存就不连续了。

和插入类似，如果删除数组末尾的数据，则最好情况时间复杂度为 O(1)；如果删除开头的数据，则最坏情况时间复杂度为 O(n)；平均情况时间复杂度也为 O(n)。

实际上，在某些特殊场景下，我们并不一定非得追求数组中数据的连续性。如果我们将多次删除操作集中在一起执行，删除的效率是不是会提高很多呢？

我们继续来看例子。数组 a[10]中存储了 8 个元素：a，b，c，d，e，f，g，h。现在，我们要依次删除 a，b，c 三个元素。

为了避免 d，e，f，g，h 这几个数据会被搬移三次，我们可以先记录下已经删除的数据。每次的删除操作并不是真正地搬移数据，只是记录数据已经被删除。当数组没有更多空间存储数据时，我们再触发执行一次真正的删除操作，这样就大大减少了删除操作导致的数据搬移。

如果你了解 JVM，你会发现，这就是 JVM 标记清除垃圾回收算法的核心思想.

三、容器是否可以取代数组？

针对数组类型，很多语言都提供了容器类，比如 Java 中的 ArrayList。在项目开发中，什么时候适合用数组，什么时候适合用容器呢？

拿 Java 举例，几乎天天都在用 ArrayList，对它应该非常熟悉。那它与数组相比，到底有哪些优势呢？

我个人觉得，ArrayList 最大的优势就是可以将很多数组操作的细节封装起来。比如前面提到的数组插入、删除数据时需要搬移其他数据等。另外，它还有一个优势，就是支持动态扩容。

数组本身在定义的时候需要预先指定大小，因为需要分配连续的内存空间。如果我们申请了大小为 10 的数组，当第 11 个数据需要存储到数组中时，我们就需要重新分配一块更大的空间，将原来的数据复制过去，然后再将新的数据插入。

如果使用 ArrayList，我们就完全不需要关心底层的扩容逻辑，ArrayList 已经帮我们实现好了。每次存储空间不够的时候，它都会将空间自动扩容为 1.5 倍大小。

不过，这里需要注意一点，因为扩容操作涉及内存申请和数据搬移，是比较耗时的。所以，如果事先能确定需要存储的数据大小，最好在创建 ArrayList 的时候事先指定数据大小。

比如我们要从数据库中取出 10000 条数据放入 ArrayList。我们看下面这几行代码，你会发现，相比之下，事先指定数据大小可以省掉很多次内存申请和数据搬移操作。

ArrayList<User> users = new ArrayList(10000);
for (int i = 0; i < 10000; ++i) {
  users.add(xxx);
}

作为高级语言编程者，是不是数组就无用武之地了呢？当然不是，有些时候，用数组会更合适些，我总结了几点自己的经验。

1. Java ArrayList 无法存储基本类型，比如 int、long，需要封装为 Integer、Long 类，而 Autoboxing、Unboxing 则有一定的性能消耗，所以如果特别关注性能，或者希望使用基本类型，就可以选用数组。

2. 如果数据大小事先已知，并且对数据的操作非常简单，用不到 ArrayList 提供的大部分方法，也可以直接使用数组。

3. 还有一个是我个人的喜好，当要表示多维数组时，用数组往往会更加直观。比如 Object[][] array；而用容器的话则需要这样定义：ArrayList > array。

我总结一下，对于业务开发，直接使用容器就足够了，省时省力。毕竟损耗一丢丢性能，完全不会影响到系统整体的性能。但如果你是做一些非常底层的开发，比如开发网络框架，性能的优化需要做到极致，这个时候数组就会优于容器，成为首选。

四、为什么数组要从0开始编号，而不是从1开始呢？

从数组存储的内存模型上来看，“下标”最确切的定义应该是“偏移（offset）”。前面也讲到，如果用 a 来表示数组的首地址，a[0]就是偏移为 0 的位置，也就是首地址，a[k]就表示偏移 k 个 type_size 的位置，所以计算 a[k]的内存地址只需要用这个公式：

a[k]_address = base_address + k * type_size

但是，如果数组从 1 开始计数，那我们计算数组元素 a[k]的内存地址就会变为：

a[k]_address = base_address + (k-1)*type_size

对比两个公式，我们不难发现，从 1 开始编号，每次随机访问数组元素都多了一次减法运算，对于 CPU 来说，就是多了一次减法指令。

数组作为非常基础的数据结构，通过下标随机访问数组元素又是其非常基础的编程操作，效率的优化就要尽可能做到极致。所以为了减少一次减法操作，数组选择了从 0 开始编号，而不是从 1 开始。

不过我认为，上面解释得再多其实都算不上压倒性的证明，说数组起始编号非 0 开始不可。所以我觉得最主要的原因可能是历史原因,C语言如此，所以后辈们都如此。

五、经典leetcode题(数组)

如果你想看更多的解答，更好的解答，可以直接访问Leetcode,具体的链接如下，这里显示的是一种我个人能想到的解法，和我能接受的更好的解法，有些很好但是脑洞太大的解法不会列出，大部分时候看到这种这种解法。

• Three Sum（求三数之和）
• Majority Element（求众数）
• Missing Positive（求缺失的第一个正数）

5.1 求三数之和(Three Sum)

5.1.1 题目

给你一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？请你找出所有满足条件且不重复的三元组。
注意：
答案中不可以包含重复的三元组。
示例：

给定数组 nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]，
满足要求的三元组集合为：
[
  [-1, 0, 1],
  [-1, -1, 2]
]

5.1.2 自己的解法-暴力解法

/**
* 循环三次，结果集使用了set集合，避免了返回值重复
*/
private List<List<Integer>> directlySolution(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length <= 2) {
        return Collections.emptyList();
    }
    Arrays.sort(nums);
    //set集合去重
    Set<List<Integer>> result = new LinkedHashSet<>();
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = i+1; j < nums.length; j++) {
            for (int k = j+1; k < nums.length; k++) {
                if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {
                    List<Integer> value = Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k]);
                    result.add(value);
                }
            }
        }
    }

    return new ArrayList<>(result);
}

但是在leetcode里超时了，哎

5.1.3 优秀解法

思路

class Solution {
    public static List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList();
        int len = nums.length;
        if(nums == null || len < 3) return ans;
        Arrays.sort(nums); // 排序
        for (int i = 0; i < len ; i++) {
            if(nums[i] > 0) break; // 如果当前数字大于0，则三数之和一定大于0，所以结束循环
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1]) continue; // 去重
            int L = i+1;
            int R = len-1;
            while(L < R){
                int sum = nums[i] + nums[L] + nums[R];
                if(sum == 0){
                    ans.add(Arrays.asList(nums[i],nums[L],nums[R]));
                    while (L<R && nums[L] == nums[L+1]) L++; // 去重
                    while (L<R && nums[R] == nums[R-1]) R--; // 去重
                    L++;
                    R--;
                }
                else if (sum < 0) L++;
                else if (sum > 0) R--;
            }
        }        
        return ans;
    }
}

嗯，看了别人的解法，感觉自己像个傻比

5.2 求众数(Majority Element)

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1:
输入: [3,2,3]
输出: 3

5.2.1 自己的解法-排序法

对数组进行排序之后，n/2位置的数据就是多数元素

class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        return nums[nums.length >> 1];
    }
}

5.2.2 优秀解法-摩尔投票法

class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        int cand_num = nums[0], count = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            if (cand_num == nums[i])
                ++count;
            else if (--count == 0) {
                cand_num = nums[i];
                count = 1;
            }
        }
        return cand_num;
    }
}

5.3 求缺失的第一个正数(Missing Positive)

给你一个未排序的整数数组，请你找出其中没有出现的最小的正整数。
提示：
你的算法的时间复杂度应为O(n)，并且只能使用常数级别的额外空间。

示例 1:
输入: [1,2,0]
输出: 3

示例 2:
输入: [3,4,-1,1]
输出: 2

示例 3:
输入: [7,8,9,11,12]
输出: 1

5.3.1 自己的解法-递归实现

这种解法是自己想出来的，看leetcode好像没有这种解法，虽然效率不高，时间复杂度也没有满足要求
(1)遍历数组，如果数据中存在小于0，或者大于nums.length的数，则剔除
(2)遍历方法，直到数组中的个数达到稳定(剩余数组个数不会发生变化 或者 为0)

public int firstMissingPositive(int[] nums) {
   Set<Integer> set = new HashSet<>();
   return recursive(IntStream.of(nums).boxed().collect(Collectors.toList()).toArray(new Integer[0]),set) + 1;
}

/**
 1. 递归实现
 2. @param nums 数组
*/
public Integer recursive(Integer[] nums,Set<Integer> set) {
	set.clear();
	int length = nums.length;
	//遍历数组，如果数据中存在小于0，或者大于nums.length的数，则剔除
	for (int i = 0; i < length; i++) {
	if (!(nums[i] <= 0 || nums[i] > length)) {
	    set.add(nums[i]);
	}
	}
	//直到数组中的个数达到稳定(剩余数组个数不会发生变化 或者 为0)
	if (!(set.size() == nums.length || set.size() == 0)) {
		recursive(set.toArray(new Integer[set.size()]), set);
	}
	return  set.size();
}

5.3.2 优秀解法-存放对应的位置

我们还可以把每个元素存放到对应的位置，比如1存放到数组的第一个位置，3存放到数组的第3个位置，
如果是非正数或者大于数组的长度的值，我们不做处理，最后在遍历一遍数组，如果位置不正确，说明这个位置没有这个数，我们就直接返回，我们画个图看一下。

    public int firstMissingPositive(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            //如果在指定的位置就不需要修改
            if (i + 1 == nums[i])
                continue;
            int x = nums[i];
            if (x >= 1 && x <= nums.length && x != nums[x - 1]) {
                swap(nums, i, x - 1);
                i--;//抵消上面的i++，如果交换之后就不++；
            }
        }
        //最后在执行一遍循环，查看对应位置的元素是否正确，如果不正确直接返回
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (i + 1 != nums[i])
                return i + 1;
        }
        return nums.length + 1;
    }

    //交换两个数的值
    public void swap(int[] A, int i, int j) {
        if (i != j) {
            A[i] ^= A[j];
            A[j] ^= A[i];
            A[i] ^= A[j];
        }
    }

六、主要参考链接

1. 极客时间 王争《数据结构与算法之美》.