GMSSL ：SM2椭圆曲线公钥密码算法——数字签名算法2

2021SC@SDUSC

一、相关数学基础

SM2是椭圆曲线算法，所以要先学习相关基础数学知识

N.Koblitz和V.Miller在1985年各自独立地提出将椭圆曲线应用于公钥密码系统。椭圆曲线公钥密码 所基于的曲线性质如下：

──有限域上椭圆曲线在点加运算下构成有限交换群，且其阶与基域规模相近；

──类似于有限域乘法群中的乘幂运算，椭圆曲线多倍点运算构成一个单向函数。

1.参数

p：大于3的素数。

q：有限域Fq中元素的数目。

m：二元扩域F2 m关于F2的扩张次数。

2.基础概念

由于

1.实数域上的椭圆曲线是连续的，有无限个点，密码学要求有限点。
2.实数域上的椭圆曲线的运算有误差，不精确。密码学要求精确。

所以需要引入有限域内的圆锥曲线

有限域：Fq的描述及其元素的表示，q是一个奇素数或者是2的方幂。当q是奇素数p时，要 求p > 2 191；当q是2的方幂2 m时，要求m > 192且为素数。

素域Fp： 当q是奇素数p时，素域Fp中的元素用整数0,1,2,··· , p−1表示。

a) 加法单位元是整数0；

b) 乘法单位元是整数1；

c) 域元素的加法是整数的模p加法，即若，则；

d) 域元素的乘法是整数的模p乘法，即若，则。

二元扩域：

        当q是2的方幂时，二元扩域可以看成上的m维向量空间，其元素可用长度为m的比特串表 示。

        中的元素有多种表示方法，其中最常用的两种方法是多项式基(PB)表示和正 规基(NB)表示。 基的选择原则是使得中的运算效率尽可能高。下面以多项式基表示为例说明二元扩域。 设上m次不可约多项式(其中, i = 0,1,··· ,m−1)是 二元扩域的约化多项式。由上所有次数低于m的多项式构成。多项式集合是 F2 m 在F2上的一组基，称为多项式基。中的任意一个元素在上的系数恰好构成了长度为m的比特串，用表示。

 a) 零元0用全0比特串表示；

b) 乘法单位元1用比特串(00···001)表示；

c) 两个域元素的加法为比特串的按比特异或运算；

d) 域元素a和b的乘法定义如下：设a和b对应的F2上多项式为a(x)和b(x)，则定义为多项 式 对应的比特串。

椭圆曲线上点的加法

如上图所示，椭圆曲线的方程是 

在椭圆曲线上取一点P，再取一点Q，连接P、Q两点作一条直线，这条直线将在椭圆曲线上交于第三点，过这个点作垂直于x轴的直线，将过椭圆曲线另一点R（一般是关于x轴对称的点），R点则被定义为P+Q的结果，即

代数计算R的过程:

直线PQ斜率 

则

存在一种特殊情况，即P，Q是一点，如下图，此时过Q点的线是椭圆曲线的一条切线

 此时，斜率

点R的横纵坐标计算仍然是，

 

二、查看数字签名算法的源码

打开文件可以看到一些注释，主要是一些声明

 几乎是每个.c文件前面都有的，简单翻译了一下

打开文件可以看到头文件。

 定义的全局变量

该文件中的全部函数

 第一个函数sm2_sign_free

无签名的情况