矩阵快速幂---BestCoder Round#8 1002

当要求递推数列的第n项且n很大时，怎么快速求得第n项呢?
可以用矩阵快速幂来加速计算。
我们可以用矩阵来表示数列递推公式
比如fibonacci数列 可以表示为 [f(n)   f(n-1)] = [f(n-1)    f(n-2)] [ 1 1 ]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　[ 1 0 ] 
设A = [ 1 1 ]

　　  [ 1 0 ]

[f(n)   f(n-1)] = [f(n-2)   f(n-3)]*A*A
[f(n)   f(n-1)] = [f(2)   f(1)]*A^(n-2)
矩阵满足结合律，所以先计算A^(n-2)，这个可以用一般快速二分幂的思想来计算。

BestCoder Round#8 1002
当n为奇数时，f(n) = 2 * f(n-1) + 1
当n为偶数时，f(n) = 2 * f(n-1)
将偶数项独立出来形成单独的一个数列 b(2*n) = 2 * b(2*n-1) + 1 = 4 * (2*n-2) + 2
即b(n) = 4 * b(n-1) + 2
当n为偶数时，计算b(n/2)即可
当n为奇数时，计算b(n/2) * 2 + 1即可
因为n很大，可以用矩阵快速幂来加速
递推矩阵为 [b(n)   2] = [b(n-1]   2] * [ 4 0 ]
　　　　　　　　　　　　　  　     [ 1 1 ]

 

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <string.h>

 3 typedef long long LL;

 4 struct Matrix

 5 {

 6     LL matrix[2][2];

 7 };

 8 int n,m;

 9 Matrix operator *(const Matrix &lhs, const Matrix &rhs)

10 {

11     Matrix res;

12     memset(res.matrix, 0 ,sizeof(res.matrix));

13     int i,j,k;

14     for(k=0; k<2; ++k)

15         for(i=0; i<2; ++i)

16         {

17             if(lhs.matrix[i][k] == 0) continue;

18             for(j=0; j<2; ++j)

19             {

20                 if(rhs.matrix[k][j] == 0) continue;

21                 res.matrix[i][j] = (res.matrix[i][j] + lhs.matrix[i][k] * rhs.matrix[k][j]) % m;

22             }

23         }

24     return res;

25 }

26 Matrix operator ^(Matrix a, int k)

27 {

28     Matrix res;

29     int i,j;

30     for(i=0; i<2; ++i)

31         for(j=0; j<2; ++j)

32             res.matrix[i][j] = (i == j);

33     while(k)

34     {

35         if(k & 1)

36             res = res * a;

37         a = a * a;

38         k>>=1;

39     }

40     return res;

41 }

42 

43 int main()

44 {

45     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

46     {

47         Matrix a;

48         a.matrix[0][0] = 4;

49         a.matrix[0][1] = 0;

50         a.matrix[1][0] = a.matrix[1][1] = 1;

51         int k = n / 2;

52         a = a ^ k;

53         LL ans =(2 * a.matrix[1][0]) % m;

54         if(n & 1 == 1)

55             ans = (ans * 2 + 1) % m;

56         printf("%lld\n",ans);

57 

58     

59     }

60     return 0;

61 }

View Code