Datawhale水很深的机器学习笔记：CNN卷积神经网络

全连接神经网络

全连接神经网络，它的权重矩阵的参数非常多，而且往往自然图像中的物体都具有局部不变性特征，即尺度缩放、平移、旋转等操作不影响其语义信息，但是全连接前馈网络很难提取这些局部不变特征，这就引出了我们将要介绍的卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）。

卷积神经网络也是一种前馈神经网络，是受到生物学上感受野（感受野主要是指听觉系统、本体感觉系统和视觉系统中神经元的一些性质）的机制而提出的（在视觉神经系统中，一个神经元的感受野是指视网膜上的特定区域，只有这个区域内的刺激才能够激活该神经元）。

卷积

卷积：(f*g)(n)成为 $f$ 和 $g$ 的卷积，连续卷积和离散卷积可以表达为如下形式：
$$\begin{gathered} (f\ast g)(n)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau \\ n=\tau +(n-\tau ) \\ (f\ast g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau ) \end{gathered}$$
卷积有很多应用，经常用于处理一个输入，通过系统产生一个适应需求的输出。

• 统计学中加权平均法
• 概率论中两个独立变量之和概率密度的计算
• 信号处理中的线性系统
• 物理学的线性系统
• 图像处理中的应用(卷积神经网络)

卷积经常用在信号处理中，用于计算信号的延迟累积。

例如，假设一个信号发生器每个时刻 $t$ 产生一个信号 $x_t$ ，其信息的衰减率为 $w_k$ ，即在 $k-1$ 个时间步长后，信息为原来的 $w_k$ 倍，假设 $w_1=1,w_2=1/2,w_3=1/4$，则时刻 $t$ 收到的信号 $y_t$ 为当前时刻产生的信息和以前时刻延迟信息的叠加，即：
$$\begin{array}{rl}{y}_t& =1\times x_t+1/2\times x_{t-1}+1/4\times x_{t-2}\\ & =w_1\times x_t+w_2\times x_{t-1}+w_3\times x_{t-2}\\ & =\sum _{k=1}^3{w}_k\cdot x_{t-k+1}\end{array}$$
其中 $w_k$ 就是滤波器，也就是常说的卷积核 convolution kernel。

给定一个输入信号序列 $x$ 和滤波器 $w$，卷积的输出为：
$$y_t=\sum _{k=1}^K{w}_k{x}_{t-k+1}$$
不同的滤波器来提取信号序列中的不同特征：

下面引入滤波器的滑动步长S和零填充P：

卷积的结果按输出长度不同可以分为三类：

1. 窄卷积：步长 = 1 ，两端不补零 = 0 ，卷积后输出长度为 − + 1
2. 宽卷积：步长 = 1 ，两端补零 = − 1 ，卷积后输出长度 + − 1
3. 等宽卷积：步长 = 1 ，两端补零 =( − 1)/2 ，卷积后输出长度

在早期的文献中，卷积一般默认为窄卷积。而目前的文献中，卷积一般默认为等宽卷积。

在图像处理中，图像是以二维矩阵的形式输入到神经网络中，因此我们需要二维卷积。下面给出定义：一个输入信息 $X$ 和滤波器 $W$ 的二维卷积为 $Y=W\ast X$，即 $y_{ij}={\sum }_{u=1}^U{\sum }_{v=1}V{w}_{uv}{x}_{i-u+1,j-v+1}$ .可以参考下面的算例。

下图直接表示卷积层的映射关系

多个卷积核的情况：下图是表示步长2、filter 3*3 、filter个数6、零填充 1的情形。

几乎很多实际应用都可以对应到这个问题上，都是在做这样一件事

1）输入对应着rgb图片

2）一旦输入的特征图个数是多个，这个时候每一组filter就应该是多个，而这里有两组filter

3）输入是三个特征图，输出为两个特征图，那么我们同样看看每个特征图怎么计算的。

典型的卷积层为3维结构

其他卷积

转置卷积/微步卷积：低维特征映射到高维特征

空洞卷积：为了增加输出单元的感受野，通过给卷积核插入“空洞”来变相地增加其大小。

卷积神经网络基本原理

卷积神经网络的基本结构大致包括：卷积层、激活函数、池化层、全连接层、输出层等。

卷积层

二维卷积运算：给定二维的图像I作为输入，二维卷积核K，卷积运算可表示为 $S(i,j)=(I\ast K)(i,j)={\sum }_m{\sum }_{n}I(i-m,j-n)K(m,n)$，卷积核需要进行上下翻转和左右反转
$$S(i,j)=\mathrm{sum}\left(\begin{array}{ccc}I(i-2,j-2)& I(i-2,j-1)& I(i-2,j)\\ I(i-1,j-2)& I(i-1,j-1)& I(i-1,j)\\ I(i,j-2)& I(i,j-1)& I(i,j)\end{array}\right].\ast \left[\begin{array}{rll}K(2,2)& K(2,1)& K(2,0)\\ K(1,2)& K(1,1)& K(1,0)\\ K(0,2)& K(0,1)& K(0,0)\end{array}\right])$$
卷积实际上就是互相关

卷积的步长(stride)：卷积核移动的步长

卷积的模式：Full**,** Same和Valid

数据填充：如果我们有一个 × 的图像，使用× 的卷积核进行卷积操作，在进行卷积操作之前我们在图像周围填充 层数据，输出的维度：

感受野：卷积神经网络每一层输出的特征图(featuremap)上的像素点在输 入图片上映射的区域大小，即特征图上的一个点对应输入图上的区 域。

那么如何计算感受野的大小，可以采用从后往前逐层的计算方法：

• 第 i 层的感受野大小和第 *i-*1 层的卷积核大小和步长有关系，同时也与第 (*i-*1)层感受野大小有关
• 假设最后一层(卷积层或池化层)输出特征图感受野的大小(相对于其直 接输入而言)等于卷积核的大小
  
  卷积层的深度(卷积核个数)：一个卷积层通常包含多个尺寸一致的卷积核
  

激活函数

激活函数是用来加入非线性因素，提高网络表达能力，卷积神经网络中最常用的是ReLU，Sigmoid使用较少。


1. ReLU函数
$$f(x)=\{\begin{array}{l}0,x<0\\ x,x\ge 0\end{array}$$
ReLU函数的优点：

• 计算速度快，ReLU函数只有线性关系，比Sigmoid和Tanh要快很多
• 输入为正数的时候，不存在梯度消失问题

ReLU函数的缺点：

• 强制性把负值置为0，可能丢掉一些特征
• 当输入为负数时，权重无法更新，导致“神经元死亡”(学习率不 要太大)

2. Parametric ReLU
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\alpha x,x<0\\ x,x\ge 0\end{array}$$

• 当 =0.01 时，称作Leaky ReLU
• 当 从高斯分布中随机产生时，称为Randomized ReLU(RReLU)

PReLU函数的优点：

• 比sigmoid/tanh收敛快
• 解决了ReLU的“神经元死亡”问题

PReLU函数的缺点：需要再学习一个参数，工作量变大

3. ELU函数
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\alpha (e^x-1),x<0\\ x,x\ge 0\end{array}$$
ELU函数的优点：

• 处理含有噪声的数据有优势
• 更容易收敛

ELU函数的缺点：计算量较大，收敛速度较慢

• CNN在卷积层尽量不要使用Sigmoid和Tanh，将导致梯度消失。
• 首先选用ReLU，使用较小的学习率，以免造成神经元死亡的情况。
• 如果ReLU失效，考虑使用Leaky ReLU、PReLU、ELU或者Maxout，此时一般情况都可以解决

特征图

• 浅层卷积层：提取的是图像基本特征，如边缘、方向和纹理等特征
• 深层卷积层：提取的是图像高阶特征，出现了高层语义模式，如“车轮”、“人脸”等特征

池化层

池化操作使用某位置相邻输出的总体统计特征作为该位置 的输出，常用最大池化**(max-pooling)和均值池化(average- pooling)**。

池化层不包含需要训练学习的参数，仅需指定池化操作的核大小、操作步幅以及池化类型。

池化的作用：

• 减少网络中的参数计算量，从而遏制过拟合
• 增强网络对输入图像中的小变形、扭曲、平移的鲁棒性(输入里的微 小扭曲不会改变池化输出——因为我们在局部邻域已经取了最大值/ 平均值)
• 帮助我们获得不因尺寸而改变的等效图片表征。这非常有用，因为 这样我们就可以探测到图片里的物体，不管它在哪个位置

全连接层

• 对卷积层和池化层输出的特征图(二维)进行降维
• 将学到的特征表示映射到样本标记空间的作用

输出层

对于分类问题：使用Softmax函数
$$y_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{i=1}^n{e}^{z_i}}$$
对于回归问题：使用线性函数
$$y_i=\sum _{m=1}^M{w}_{im}{x}_m$$

卷积神经网络的训练

Step 1：用随机数初始化所有的卷积核和参数/权重

Step 2：将训练图片作为输入，执行前向步骤(卷积， ReLU，池化以及全连接层的前向传播)并计算每个类别的对应输出概率。

Step 3：计算输出层的总误差

Step 4：反向传播算法计算误差相对于所有权重的梯度，并用梯度下降法更新所有的卷积核和参数/权重的值，以使输出误差最小化

注：卷积核个数、卷积核尺寸、网络架构这些参数，是在 Step 1 之前就已经固定的，且不会在训练过程中改变——只有卷 积核矩阵和神经元权重会更新。

和多层神经网络一样，卷积神经网络中的参数训练也是使用误差反向传播算法，关于池化层的训练，需要再提一下，是将池化层改为多层神经网络的形式


将卷积层也改为多层神经网络的形式

经典卷积神经网络

1. LeNet-5

LeNet-5由LeCun等人提出于1998年提出，主要进行手写数字识别和英文字母识别。经典的卷积神经网络，LeNet虽小，各模块齐全，是学习 CNN的基础。

参考：http://yann.lecun.com/exdb/lenet/

Y. LeCun, L. Bottou, Y. Bengio, and P. Haffner. Gradient-based learning applied to document recognition. Proceedings of the IEEE, November 1998.

网络结构

输入层：$32\ast 32$ 的图片，也就是相当于1024个神经元

C1层(卷积层)：选择6个 $5\ast 5$ 的卷积核，得到6个大小为32-5+1=28的特征图，也就是神经元的个数为 $6\ast 28\ast 28=4704$

S2层(下采样层)：每个下抽样节点的4个输入节点求和后取平均(平均池化)，均值 乘上一个权重参数加上一个偏置参数作为激活函数的输入，激活函数的输出即是下一层节点的值。池化核大小选择 $2\ast 2$，得到6个 $14\ast 14$ 大小特征图

C3层(卷积层)：用 $5\ast 5$的卷积核对S2层输出的特征图进行卷积后，得到6张$10\ast 10$ 新 图片，然后将这6张图片相加在一起，然后加一个偏置项b，然后用 激活函数进行映射，就可以得到1张 $10\ast 10$ 的特征图。我们希望得到 16 张 $10\ast 10$ 的 特 征 图 ， 因 此 我 们 就 需 要 参 数 个 数 为 $16\ast (6\ast (5\ast 5))=16\ast 6\ast (5\ast 5)$ 个参数

S4层(下采样层)：对C3的16张 $10\ast 10$ 特征图进行最大池化，池化核大小为$2\ast 2$，得到16张大小为 $5\ast 5$ 的特征图。神经元个数已经减少为:$16\ast 5\ast 5=400$

C5层(卷积层)：用 $5\ast 5$ 的卷积核进行卷积，然后我们希望得到120个特征图，特征图 大小为5-5+1=1。神经元个数为120（这里实际上是全连接，但是原文还是称之为了卷积层）

F6层(全连接层)：有84个节点，该层的训练参数和连接数都$(120+1)\ast 84=10164$

Output层：共有10个节点，分别代表数字0到9，如果节点i的输出值为0，则网络识别的结果是数字i。采用的是径向基函数(RBF)的网络连接方式：
$$y_i=\sum _j(x-j-w_{ij}{)}^2$$
总结：卷积核大小、卷积核个数(特征图需要多少个)、池化核大小(采样率多少)这些参数都是变化的，这就是所谓的CNN调参，需要学会根据需要进行不同的选择。

2. AlexNet

AlexNet由Hinton的学生Alex Krizhevsky于2012年提出，获得ImageNet LSVRC-2012(物体识别挑战赛)的冠军，1000个类别120万幅高清图像（Error: 26.2%(2011) →15.3%(2012)），通过AlexNet确定了CNN在计算机视觉领域的王者地位。

参考：A. Krizhevsky, I. Sutskever, and G. Hinton. Imagenet classification with deep convolutional neural networks. In NIPS, 2012.

• 首次成功应用ReLU作为CNN的激活函数
• 使用Dropout丢弃部分神元，避免了过拟合
• 使用重叠MaxPooling(让池化层的步长小于池化核的大小)， 一定程度上提升了特征的丰富性
• 使用CUDA加速训练过程
• 进行数据增强，原始图像大小为256×256的原始图像中重 复截取224×224大小的区域，大幅增加了数据量，大大减 轻了过拟合，提升了模型的泛化能力

网络结构

AlexNet可分为8层(池化层未单独算作一层)，包括5个卷 积层以及3个全连接层

输入层：AlexNet首先使用大小为224×224×3图像作为输入(后改为227×227×3)

第一层(卷积层)：包含96个大小为11×11的卷积核，卷积步长为4，因此第一层输出大小为55×55×96；然后构建一个核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样，进而输出大小为27×27×96

第二层(卷积层)：包含256个大小为5×5卷积核，卷积步长为1，同时利用padding保证 输出尺寸不变，因此该层输出大小为27×27×256；然后再次通过 核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样，进而输出大小为13×13×256

第三层与第四层(卷积层)：均为卷积核大小为3×3、步长为1的same卷积，共包含384个卷积核，因此两层的输出大小为13×13×384

第五层(卷积层)：同样为卷积核大小为3×3、步长为1的same卷积，但包含256个卷积 核，进而输出大小为13×13×256;在数据进入全连接层之前再次 通过一个核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样， 数据大小降为6×6×256，并将数据扁平化处理展开为9216个单元

第六层、第七层和第八层(全连接层)：全连接加上Softmax分类器输出1000类的分类结果，有将近6千万个参数

3. VGGNet

VGGNet由牛津大学和DeepMind公司提出

• Visual Geometry Group:https://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/
• DeepMind:https://deepmind.com/

参考：K. Simonyan and A. Zisserman. Very deep convolutional networks for large-scale image recognition. In ICLR, 2015.

• 比较常用的是VGG-16，结构规整，具有很强的拓展性
• 相较于AlexNet，VGG-16网络模型中的卷积层均使用 $3\ast 3$ 的 卷积核，且均为步长为1的same卷积，池化层均使用 $2\ast 2$ 的 池化核，步长为2

网络结构

• 两个卷积核大小为 $3\ast 3$ 的卷积层串联后的感受野尺寸为 $5\ast 5$， 相当于单个卷积核大小为 $5\ast 5$ 的卷积层
• 两者参数数量比值为$(2\ast 3\ast 3)/(5\ast 5)=72\%$ ，前者参数量更少
• 此外，两个的卷积层串联可使用两次ReLU激活函数，而一个卷积层只使用一次

4. Inception Net

Inception Net 是Google公司2014年提出，获得ImageNet LSVRC-2014冠军。文章提出获得高质量模型最保险的做法就是增加模型的深度(层数)或者是其宽度(层核或者神经元数)，采用了22层网络。

Inception四个版本所对应的论文及ILSVRC中的Top-5错误率：

• [v1] Going Deeper with Convolutions: 6.67%

• [v2] Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by

Reducing Internal Covariate Shift: 4.8%

• [v3]RethinkingtheInceptionArchitectureforComputerVision:3.5%

• [v4] Inception-v4, Inception-ResNet and the Impact of Residual Connections on Learning: 3.08%

Inception Module

• 深度：层数更深，采用了22层，在不同深度处增加了两个 loss来避免上述提到的梯度消失问题
• 宽度：Inception Module包含4个分支，在卷积核3x3、5x5 之前、max pooling之后分别加上了1x1的卷积核，起到了降低特征图厚度的作用
  • 1×1的卷积的作用：可以跨通道组织信息，来提高网络的表达能力；可以对输出通道进行升维和降维。
    

5. ResNet

ResNet(Residual Neural Network)，又叫做残差神经网 络，是由微软研究院的何凯明等人2015年提出，获得ImageNet ILSVRC 2015比赛冠军，获得CVPR2016最佳论文奖。

随着卷积网络层数的增加，误差的逆传播过程中存在的梯 度消失和梯度爆炸问题同样也会导致模型的训练难以进行，甚至会出现随着网络深度的加深，模型在训练集上的训练误差会出现先降低再升高的现象。残差网络的引入则有助于解决梯度消失和梯度爆炸问题。

残差块

ResNet的核心是叫做残差块(Residual block)的小单元， 残差块可以视作在标准神经网络基础上加入了跳跃连接(Skip connection)

• 原连接

$$\begin{gathered} a_{l+1}=\sigma (W_{l+1}{a}_l+b_{l+1}) \\ {a}_{l+2}=\sigma (W_{l+2}{a}_{l+1}+b_{l+2}) \end{gathered}$$

• 跳跃连接

$$\begin{gathered} a_{l+1}=\sigma (W_{l+1}{a}_l+b_{l+1}) \\ {a}_{l+2}=\sigma (W_{l+2}{a}_{l+1}+b_{l+2}+a_l) \end{gathered}$$

Skip connection的作用

记 $u_{l+1}=W_{l+1}{a}_l+b_{l+1},u_{l+2}=W_{l+2}{a}_{l+1}+b_{l+2}+a_l={\hat{u}}_{l+2}+a_l$

我们有：
$$
\begin{align}

\frac{\partial E}{\partial w_l} &=
\frac{\partial E}{\partial a_{l+2}}
\frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}}
\frac{\partial u_{l+2}}{\partial w_l}
\
&=
\frac{\partial E}{\partial a_{l+2}}
\frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}}
\frac{\partial \hat{u}{l+2}}{\partial w_l}
+
\frac{\partial E}{\partial a{l+2}}
\frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}}
\frac{\partial a_l}{\partial w_l}
\
&=
\cdots + \frac{\partial E}{\partial a_{l+2}}
\frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}}
\frac{\partial a_l}{\partial u_l}
\frac{\partial u_{l}}{\partial w_l}
\end{align}
$$

6. Densenet

DenseNet中，两个层之间都有直接的连接，因此该网络的直接连接个数为L(L+1)/2。

对于每一层，使用前面所有层的特征映射作为输入，并且使用其自身的特征映射作为所有后续层的输入

参考：Huang, G., Liu, Z., Van Der Maaten, L., & Weinberger, K. Q. (2017). Densely connected convolutional networks. In Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition (pp. 4700- 4708).

5层的稠密块示意图

DenseNets可以自然地扩展到数百个层，而没有表现出优化困难。在实验中，DenseNets随着参数数量的增加，在精度上产生一致的提高，而没有任何性能下降或过拟合的迹象。

优点：

• 缓解了消失梯度问题
• 加强了特征传播，鼓励特征重用
• 一定程度上减少了参数的数量

主要应用

图像处理领域主要应用

• 图像分类(物体识别)：整幅图像的分类或识别
• 物体检测：检测图像中物体的位置进而识别物体
• 图像分割：对图像中的特定物体按边缘进行分割
• 图像回归：预测图像中物体组成部分的坐标
  
  语音识别领域主要应用
  
  自然语言处理领域主要应用

情感分析：分析文本体现的情感(正负向、正负中或多态度类型)

参考：(Yoon Kim)Convolutional Neural Networks for Sentence https://arxiv.org/abs/1408.5882

(参考：https://datawhalechina.github.io/unusual-deep-learning/）