如何将连续系统状态空间方程离散化

差分变换

连续系统转化为离散系统的方法之-- z变换。z变换主要研究如何将连续系统传递函数G(s) 转化为离散传递函数 G(z)。就是找到一个s和z的关系，直接将G(s)中的s全部替换为z便大功告成。
线性连续系统的表达方法之一便是传递函数
$$C(s)=\frac{b_0{s}^{n-1}+...+b_{n-1}}{s^n+a_0{s}^{n-1}+...+a_{n-1}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

线性离散系统的表达方法之一也是传递函数，用 Z表示差分
$$G(s)=\frac{b_0{z}^{n-1}+...+b_{n-1}}{z^n+a_0{z}^{n-1}+...+a_{n-1}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

注意$zy(z)=y(k+1),z^{-1}y(z)=y(k-1)$
重点，连续系统传递函数(1)中的基本单元是s，离散系统传递函数(2)中基本单元是 z。离散化便是找到一个s和z的对应关系，然后将s替换成z即可。

常用三种对应关系：
1.前项差分变换 (T为采样间隔)
$$z=1+Ts\Rightarrow s=\frac{z-1}{T}$$

2.后项差分变换 (T为采样间隔)
$$z=\frac{1}{1-Ts}\Rightarrow s=\frac{z-1}{Tz}$$

3.Tustin 变换 (双线性变换，常用方法) (T为采样间隔)

$$z=\frac{1+\frac{Ts}{2}}{1-\frac{Ts}{2}}\Rightarrow s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$$
离散化案例一：
$$G(s)=\frac{s}{s+1}$$
$$C_{FE}=\frac{\frac{1}{T}(z-1)}{\frac{1}{T}(z-1)+1}=\frac{z-1}{z-1+T}=\frac{1-z^{-1}}{1+(T-1)z^{(}-1)}$$
离散化案例二：二阶巴特沃斯滤波器

如何记住者三种变换：
首先要记住$z=e^{Ts}$(由定义)，再根据泰勒展开，由于采样时间较小，Ts近似为0，略去高次项，可得：
$$z=e^{Ts}\approx 1+Ts$$
此为前向差分变换
再进一步变换
$$z=e^{Ts}=(e^{-Ts}{)}^{-1}\approx (1-Ts{)}^{-1}$$
此为后向差分变换
再进一步变化
$$z=e^{Ts}=\frac{e^{\frac{Ts}{2}}}{e^{-\frac{Ts}{2}}}\approx \frac{1+\frac{Ts}{2}}{1-\frac{Ts}{2}}$$

欧拉法

我们还会遇到
$$\dot{x}=Ax+bu$$
对于这种如何进行离散化呢？答案是使用欧拉法。
对上式两边进行积分得：
$${\int }_t^{t+dt}\dot{x}dt={\int }_t^{t+dt}(Ax+Bu)dt$$
上式左边：
$${\int }_t^{t+dt}\dot{x}dt=x(t+dt)-x(t)$$
右边根据积分中值定理知道：
$${\int }_t^{t+dt}Axdt=Ax(\xi )dt,其中t<\xi <t+dt$$
那么：
向前欧拉法：$$x(\xi )=x(t)\Rightarrow x(t+dt)=(I+Adt)x(t)$$
向后欧拉法：$$x(\xi )=x(t+dt)\Rightarrow x(t+dt)=(I-Adt{)}^{-1}x(t)$$
中点欧拉法：$$x(\xi )=\frac{x(t+dt)+x(t)}{2}\Rightarrow x(t+dt)=(I-\frac{Adt}{2}{)}^{-1}(I+\frac{Adt}{2})x(t)$$

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参考文章：
https://blog.csdn.net/weixin_39830200/article/details/111366595
https://blog.csdn.net/u013492900/article/details/114884926