基于深度学习的CBCT重建方法研究（1）

摘要理解：锥形束CT（CBCT）通过减少减少X射线管阴极电流可以减少对患者的辐射，但是这样重建出来的图像的质量会变差。因此，如何提高低剂量CBCT重建图像的质量是一个值得研究的课题。传统的统计迭代重建法通过设计不同的正则项来重建，TV正则项（全变分）能保护边缘和去燥，但是会产生阶梯效应；而hessian正则项在抑制阶梯时会让边缘模糊化。
本文是利用深度学习学习潜在的正则项，提出来一种基于卷积神经网络的迭代重建算法，在去除噪声和伪影上有比TV更好的效果，在抑制阶梯效应上可以与和hessian并提。

1.绪论

CBCT优势：投影数据是二维而不是一维的，重建可以直接得到三维图像，伪影不严重。
统计迭代算法：考虑了投影数据的噪声分布特性，对噪声分布建立模型，通过贝叶斯理论和极大似然估计，构建最小二乘目标函数，并利用图像的先验知识构建正则项。正则项的设计对图像质量影响很大。
深度学习应用于反问题：一是训练一个端到端神经网络，输入退化的图像，输出高
质量的图像。二是用网络改造迭代算法，用网络替换掉迭代算法的一部分，或者用
网络替换整个迭代算法。

2.CBCT成像基本原理

（1）文章中给出

分析一下这段话的意思根据Id和I0得到p，然后p是u的线积分，测量多组数据得到p的分布，然后就可以得到u的分布，根据人体组织与u的对应关系，就可以根据u（x，y，z）得到该位置是什么器官。
百度找到知乎上一些关于CT成像的答复
①关于CT成像的历史研究
1917年，丹麦数学家J.Rando从数学上证明：某种物理参量的二维分布函数，由该函数在其定义域内的所有线性积分确定。该研究结果的意义在于：确定一个物理参量，寻找该物理参量的线积分，获得所有方向内的线积分，就能够求得该二维分布函数。
1961年，Wiliam H.Oldendorf采用聚焦成一束的碘131放射源完成了著名的旋转位移实验，向人们揭示了获取投影数据的基本原理与方法；
1963年，美国的Allan M.Cormack以人体组织对X线的线性吸收系数为物理参量，用X线投影作为人体组织对X线线性吸收的线积分，研究出重建图像的数学方法。
1967~1970年，英国的Godfrey Hounsfield博士提出了体层成像（tomography）的具体方法。此方法需要从单一平面获取X线投影的读数，每个X线光束通路所获得的投影都可以看做是联立方程组的方程之一，通过解这组联立方程组能获得该平面的图像。
②关于CT成像的原理
CT成像的本质是衰减系数成像。
搞懂两个东西，你就明白X光成像的原理了。

1. 朗伯比尔定律（Beer-Lambert Law）

2. Radon transform (拉东变换)
   朗伯比尔定律本文已介绍，但是需要注意的是：
   得出衰减系数，再把不同的衰减系数对应到不同的像素值，就得到X光照片了。这就是早期的X光成像技术。
   注意：这里的衰减系数 在X光穿透路径上是保持不变的！在均匀的物体中穿透没问题，可在非均匀物体中穿透，由于处处的不等，按照这个公式计算出来的 是路径上所有的 的均值。也就是说计算所得的 不准确。这样的成像效果肯定不会好啦。三维结构被压缩成二维图像，没有空间分辨率，更别谈断层了。那么如何得到物体内部的剖面图像呢？

需要用到Radon变换
实际上衰减系数是关于空间位置坐标和能量的函数，相同物质对不同能量的吸收能量也不一样，探测器上面检测到的是该路径上所有物质对x光吸收后的结果，路径上具体位置的吸收无从得知，这就需要在图像领域朝着各个方向对图像投影（Randon变换）

如图对图像进行投影（0°，45°，90°），各个方向的投影其实就是计算各个方向上的像素值之和，得到一个向量，把三个方向的投影结果合起来就是投影数据，不同方向得到的向量维数不一样，以最大维数为准，不足用0填充，这就是拉东变换。
CT的扫描其实就是，以螺旋CT为例，机器会围绕人作旋转运动，把人看着图像，CT围绕人旋转，那么其发出的X光就会从不同角度穿透人体，达到另一面的探测器上。就相当于沿各向求和，这里的和是不同方向上人体对X光的吸收作用。探测器就记录下了这个投影数据，后面用来重建人体的三维结构。
如何由得到的不同方向投影的数据，恢复得到原始图像呢？

水平方向，强度为10的X光穿透物体后，探测器探测到的结果为5。只从这一点，我们只知道 μ1+μ2=10-5=5 ,具体μ1，μ2是多少，无法知晓。但是！从其竖直方向可以得到μ1=10-8=2，μ2=10-7=3 。这就像是联立方程解方程组，就像做数独。实际过程中，几百个方向上的投影来解出每个位置的衰减系数。然后一副二维的切片图像就得出了。
这就是拉东反变换。

（2）FDK 等解析类重建算法的突出的优点是计算效率高，重建速度快，但是在解
析类算法的推导过程中，方程的导出形式是连续的，而且还要满足投影数据必须
完全、分布必须均匀、相邻射线等间隔等一系列条件。而实际中，这些条件很难
得到满足，连续方程的离散化实现时也会引入插值误差。这些都会导致重建图像
有较大的噪声或者伪影，无法得到较好质量的重建图像。

（3）迭代算法

主要会碰到A不可逆以及A过于庞大不易存储的问题
代数重建问题（线性方程组的应用）：
这里找到在别人的博文上面对这个问题的介绍：
X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影，CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影，并以此重建对象内部的3维图像。代数重建方法就是从这些2维投影出发，通过求解超定线性方程组，获得对象内部3维图像的方法。这里我们考虑一个更简单的模型，从2维图像的1维投影重建原先的2维图像。

一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖，每个网格对应一个像素，它是该网格上各点像素的均值。这样一个图像就可以用一个矩阵表示，其元素就是图像在一点的灰度值（黑白图像）。下面我们以 3*3图像为例来说明。

每个网格中的数字代表其灰度值，范围在[0,1]内，记0表示白，1表示黑，0.5为中间的灰色，沿某个方向的投影就将该方向上的灰度值相加（见上图所示）。如果我们不知道网格中的数值，只知道沿竖直方向和水平方向的投影。设网格按第1列、第2列、第3列的顺序排列，为了确定网格中的灰度值，可以建立线性方程组：

显然该方程组的解是不唯一的，为了重建图像，必须增加投影数量。如我们增加从右上到左下的投影，则方程组将增加5个方程，成为超定方程组。考虑到测量误差，可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据。
但是在实际情况中在实际情况中，由于噪声的影响，方程组是不相容的，几乎不可能得到唯一解。

统计迭代法，通过贝叶斯法则得到
图像u的贝叶斯目标函数：

由于投影数据的噪声服从高斯分布，因此可以通过投影数据高斯分布的联合概率密度函数

忽略2-12的常数项，可以得到惩罚加权最小二乘模型

根据最大后验概率理论，上式取最小值的解即为待重建的图像u

第一项就是保真项，第二项是正则项

3.正则项方法

①正则项的设计
②TV正则项和hessian正则项
TV正则项


TV正则项是一种一阶导正则项，它能有效去除重建图像中的伪影和噪声----而图像中噪声和伪影附近的梯度通常会较大，也就是灰度值与它相邻点的灰度值相差较大，TV 正则项的权值就会较大，相应的会施加较重的惩罚。但是也会有阶梯效应-----：因为 TV 正则项是对相邻像素之间的灰度差进行惩罚，对于图像灰度均匀变化的区域来说，这种惩罚力度稍微有点强了，导致相邻像素的灰度值趋向于相等。

Hessian正则项

解释一下，F范数是矩阵中各项元素的绝对值的平方的总和开根号。



可以看到hessian惩罚的相邻像素导数的差值，所以可以有效抑制阶梯效应，但是在图像的边缘处二阶导数一般较大，对其惩罚，可能会使边缘模糊。

这篇文章的学习后半部分需要对深度学习的掌握，下次再介绍。