PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度

PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度

• 进一步分为:

  • 连续型随机变量(基础阶段讨论)

    • 例如,电视机的使用寿命

  • 奇异型随机变量

分布函数

• 和离散型随机变量不同,连续型随机变量可以充满某个区间

• 分布律的形式无法描述这类随机变量的取值的统计规律性

• 为了统一研究各种类型的随机变量,引入分布函数的概念

  • Distribution function 分布函数

• $设X是一个随机变量,x是任意实数$

  • $记函数F(x)=P(\{X⩽x\})$
    • $定义域:-\infty <x<+\infty$
    • 值域:$F(x)\in [0,1]$
  • $称X服从于F(x),记为X\sim F(x)$
    • $记D=\{X⩽x\}$
      • $其中D表示事件:X⩽x$
      • $即,它是一个试验样本点集合$
      • 参数(变量)类型就是概率函数P的参数类型
  • $如果为了同时强调随机变量X,和自变量实数x,那么可以写作$
    • $F(X,x)=P(\{X⩽x\})$
    • 可以称,F为随机变量X的分布函数

分布函数的性质

基本性质

• 任何随机变量X都有分布函数

• 函数F(x)成为某个随机变量X的分布函数的条件:

• 值域:

  • $F(x)\in [0,1]$

• 极限:

  • $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$

    • $可以记为F(-\infty )=0$

  • $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$

    • $可以记为F(+\infty )=1$

• 单调性:

  • $F(x)$是单调非减的函数:
    • $x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)⩽F(x_2)$
    • $因为,事件\{X⩽x_1\}\subset \{X⩽x_2\}$
      • $P(\{X⩽x_1\})⩽P(\{X⩽x_2\})$
      • $F(x_1)=P(\{X⩽x_1\})$
      • $F(x_2)=P(\{X⩽x_2\})$
      • $所以F(x_1)⩽F(x_2)$

高级性质

• 指证明需要高级知识的性质,包括以下几条:

右连续性:

• $F(x)是右连续的$

  • 即,如果$x在x=k$处的某个邻域$U=U(k,\delta )$ 有定义,存在右极限

  • $$\underset{x\to k^{+}}{\lim }F(x)=F(k)$$

  • 比如:$F(x+0)=F(x)$

• 例如:

  • $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ A{x}^2+B,& 0<x⩽1\\ 1& x>1\end{array}$$

    • 上面这个分布函数的分段定义涵盖了实数区间R

    • 利用右连续性求解A,B

      • $由于F(x)在x=0处和x=1处均有定义$

      • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=F(0)$

        • $B=0$

      • $\underset{x\to 1+}{\lim }F(x)=F(1)$

        • A+B=1

      • 即:A=1,B=0

概率区间:

• 对于$\forall x_1<x_2;P(\{x_1<x⩽x_2\})=F(x_2)-F(x_1)$

• 有分布函数可以确定随机变量在某一个区间内的取值概率

  • X取值落在某一个区间的概率,用这个性质求解是方便的
  • 注意左开右闭区间才可以直接套用

• $对于任意的x,P(\{X=x\})=F(x)-F(x-0)$

• 例:

  • 对于分布函数

    • $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ x^2,& 0<x⩽1\\ 1& x>1\end{array}$$

    • $$P(0.2<x⩽0.8)=F(0.8)-F(0.2)=0.6$$

从分布律求对应的分布函数

• 一般的,对于随机变量X的为:

  • $P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$

  • $$\begin{gathered} F(x)=P(X⩽x)=\sum _{x_k⩽x}P(X=x_k)=\sum _{x⩽x}{p}_k \\ 其中p_k=P(X=x_k) \\ 这种转换得到的是一个跳跃性的函数F(x),跳跃点分布在x=x_k处 \\ 而且跳跃的高度为p_k \end{gathered}$$

  • 显然,离散型随机变量的函数不是连续函数

    • 它们一般为阶梯函数

连续型随机变量

概率密度函数

• 设随机变量X的分布函数是F(x)

• 如果存在一个**非负可积函数$f(x),使得任意x\in R$**有

  • $$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

  • $X是连续性随机变量$

  • $f(x)是随机变量X的概率密度函数$,检查密度函数(密度)

  • $F(x)是f(x)的积分上限函数$

性质

• 非负性

  • $对于任意x\in R,f(x)⩾0$

• 规范性:

  • ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

• $F(x)和f(x)之间的关系$

  • 设其中X为连续型随机变量时,有:

  • $对于任意实数:a,b(a⩽b)$

    • $P(a<X⩽b)={\int }_a^{b}f(x)dx$

      • 推导:

      • $$\begin{gathered} P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)={\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx-{\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx \\ ={\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx+{\int }_a^{-\infty }f(x)dx \\ ={\int }_a^{b}f(x)dx \end{gathered}$$

      • 再回头看规范性:

        • $P(\Omega )=P(-\infty <X<+\infty )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

  • $F(x)是连续函数$

    • $f(x)在x_0处连续时,f(x_0)=F^{\prime }(x_0)$

    • $$F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt\stackrel{\Delta x\to 0}{}0$$

  • $\forall 常数c,P(X=c)=0$

    • $$\begin{gathered} 对于\Delta x>0 \\ 0⩽P(X=c)<P(c-\Delta x<x⩽c)=F(x)-F(c-\Delta x)=0(\Delta x\to 0^{+}) \\ 由夹逼法则,P(X=c)=0 \end{gathered}$$

    • 可见,连续型随机变量取一个具体值的概率是0

      • 但是,对于连续型随机变量取值的每一次观察将导致一个概率为0事件发生
      • 这表明:
        • 概率为0的事件不一定是不可能事件
        • 同样,概率为1的事件也不一定是必然事件
        • 但是有时候是确定可能或不可能
          • $若a\in \{x\mid f(x)>0\}$,则事件P(X=a)是有可能发生的
          • $若a\in \{x\mid f(x)=0\},则事件P(X=a)是不可能发生$
          • 从几何角度理解,概率密度>0的区间上是随机变量可能的取值范围
            • 而概率密度区间为=0的区间是随机变量不可能取值的区间

    • 基于此有:

      • $P(a⩽X<b)=P(\{X=a\}\cup \{a<X<b\})=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b)$

      • 类似的:

        • $$P(a<X<b)=P(a<X⩽b)=P(a⩽X<b)=P(a⩽X⩽b)$$

其他性质

• $改变密度函数f(x)在有限个点处的函数值(并且保证这些值非负)$

  • $比如得到新的函数g(x)$

  • 根据概率密度的定义,g(x)也是X的概率密度函数

  • 因此,改变有限个点处的密度函数值不会影响分布函数

    • 即不同的密度函数可能得到相同的分布函数!

    • 一个随机变量的分布函数是确定的,但是它的概率密度却不是唯一的

例

• $$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1\\ 0,& else\end{array} \\ g(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽x⩽1\\ 0,& else\end{array} \end{gathered}$$

• $f(x),g(x)(作为概率密度)在是不同的两个函数,但是它们有相同的分布函数$

• $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x,& 0⩽x⩽1\\ 1,& x>0\end{array}$$

  $$\begin{gathered} F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx \\ 由于f(x)是个分段函数,因此积分的时候也要相应的分段 \\ f(x)在不同段(x落在不同区间)下的积分如下 \\ \{\begin{array}{llc}F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{x}0dx=C{|}_{-\infty }^x=C-C& =0,& x<0\\ F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}0dx+{\int }_0^{x}1dx=0+x{|}_0^x=x-0& =x,& 0⩽x⩽1\\ F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}0dx+{\int }_0^{1}1dx+{\int }_1^{x}0dx=x{|}_0^1& =1,& x>0\end{array} \end{gathered}$$

  $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0\\ x,& 0<x<1\\ 1,& x⩾0\end{array}$$

  • $两种写法在邻接出F(0)=0;F(1)=1都是一致的$

密度函数&分布函数&概率间的联系

• $由密度函数f积分(变上限积分)得到分布函数F$

  • 注意,密度函数的一条性质中有一个定积分(规范性:从$-\infty \to +\infty$),区别于变上限积分

• 求解随机变量落在给定区间内的概率

  • $由分布函数F作差计算$
  • 也可以直接通过密度函数,通过定积分来计算

例

$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& 0<x<2\\ 0,& else\end{array} \\ P(1<X<3)=0.25 \end{gathered}$$

• 根据规范性:

  • $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1 \\ 再结合密度函数f(x)分段区间 \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=0+{\int }_0^{2}f(x)dx+0=1 \\ (\frac{a{x}^2}{2}+bx){|}_0^2=2a+2b=1 \\ a+b=\frac{1}{2} \\ 结合给出的特殊概率: \\ P(1<X<3)=0.25 \\ P(1<X<3)={\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+0={\int }_1^2(ax+b)dx=0.25 \\ (\frac{a{x}^2}{2}+bx){|}_1^2=2a+2b-(\frac{1}{2}a+b)=\frac{3}{2}a+b=0.25 \\ a=-0.5,b=1 \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}x+1,& 0<x<2\\ 0,& else\end{array} \\ F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx= \\ \{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx=0,& x⩽0\\ {\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^x(-\frac{1}{2}x+1)dx=0+\frac{-x^2}{4}+x=\frac{-x^2}{4}+x,& 0<x<2\\ {\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{x}f(x)dx=0+1+0=1,& x⩾2\end{array} \end{gathered}$$

  • $P(X>1.5)=1-P(X⩽1.5)=1-F(1.5)=\frac{1}{16}=0.0625$

tips

分布函数和密度函数

• 密度函数为0的区间(点)表示随机变量取值不可能落在那里
• $密度函数为0的区间[a,b]其上的积分P(a⩽x⩽b)=F(b)-F(a)也是0$
  • 但是小心,$及时x\in [a,b];F(x)可能是大于0的,而且经常可以取1,因为,F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx$
    • $除非f(x)在[-\infty ,a]有f(x)=0,否则就不可以直接断言[a,b]上有F(x)=0$

定性判断:从概率密度函数图像判断随机变量在某个区间内的取值概率

例

• $$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1\\ 0,& else\end{array}$$

  $$\begin{gathered} 这里例子中,f(x)被分为三段,容易直接推断分布函数中的首尾两段 \\ 中间段的x^3结果不一定要算出来,特别是有些求随机变量的密度函数的问题,不必求出 \\ P(X<x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x>1\\ {\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx={\int }_0^{x}3x^{2}dx=x^3,& 0⩽x⩽1\end{array} \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 从分布函数F(x)=P(X⩽x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)\mathrm{d}x \\ 以及公式:P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx \\ 的角度来看,以[a,b]为底, \\ 以曲线f(x)为顶的曲边梯形的面积表示的就是是概率P(a<X⩽b) \\ 从极限的角度考虑这个公式:取b=a+\Delta x \\ P(a<X⩽x+\Delta )=F(a+\Delta )-F(a)={\int }_a^{a+\Delta }f(x)dxa一般化为x \\ P(x<X⩽x+\Delta x)=F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_x^{x+\Delta x}f(x)dx\approx f(x)dx \\ 即,运用化曲为直的近似思想,可以得到小曲边梯形近似称小矩形的结果 \\ 容易发觉,当f(x_1)>f(x_2)的是时候,X的取值落在x_1附近的概率比较大 \\ (概率密度函数在x=x_1附近区间的积分的面积(近似小矩形面积)比较大) \end{gathered}$$