DP：斐波纳契数

题目：输出第 n 个斐波纳契数（Fibonacci）

 

方法一、简单递归

这个就不说了，小n怡情，大n伤身啊……当n=40的时候，就明显感觉到卡了，不是一般的慢。

 1 //输出第n个 Fibonacci 数 

 2 #include <iostream>

 3 using namespace std;

 4 

 5 long long Fibonacci(int n)

 6 {    

 7     if(n<=2) return 1;    

 8     else return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

 9 }

10 

11 

12 int main()

13 {

14     int n;

15     while(cin>>n, n) 

16         cout<<Fibonacci(n)<<endl;

17         

18     return 0;

19 }

20     

 

 

方案二、动态规划

 1 //输出第n个 Fibonacci 数 

 2 #include <iostream>

 3 #include <cstring>

 4 #define MAXN 300

 5 using namespace std;

 6 

 7 long long F[MAXN];

 8 int i;

 9 long long Fibonacci(int n)

10 {    

11     i++;

12     F[0]=1;

13     F[1]=1;

14     if(n<=2) return 1;    

15     else

16     {

17         if(F[n]==0)    // !!!!!!!!!!

18             F[n]=Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

19         return F[n];

20     }

21 }

22 

23 

24 int main()

25 {

26     int n;

27     while(cin>>n, n) 

28     {

29         i=0;

30         memset(F,0,sizeof(F));

31         cout<<Fibonacci(n)<<" ";

32         cout<<"调用"<<i<<"次"<<endl;

33         

34     }

35     return 0;

36 }

37     

【以上程序可以优化：既然只要求输出第n个斐波纳契数f(n)，则只需用两个变量记录f(n-1)和f(n-2)，不用开数组将整个1到n的斐波纳契数列都记录下来。】

最开始忘了 if(F[n]==0) 这个判断（17行），导致了很多次的重复计算——和递归算法一样多的次数。

以下是程序运行截图，上图为正确程序，下图为漏掉了 if(F[n]==0) 这个判断的错误程序。可以看出运行时间上的巨大差距：

当输入n=100时，错误的程序很长很长一段时间内都还没计算出来。

 

方法三、for循环 + 数组

速度也非常快。

 1 //输出第n个 Fibonacci 数 

 2 #include <iostream>

 3 #include <cstring>

 4 #define MAXN 300

 5 using namespace std;

 6 

 7 long long F[MAXN];

 8 long long Fibonacci(int n)

 9 {    

10     F[0]=1;

11     F[1]=1;

12     if(n<=2) return 1;    

13     else

14     {

15         for(int i=2; i<n; ++i)

16             F[i] = F[i-1] + F[i-2];

17         return F[n-1];

18     }

19 }

20 

21 

22 int main()

23 {

24     int n;

25     while(cin>>n, n) 

26     {

27         memset(F,0,sizeof(F));

28         cout<<Fibonacci(n)<<endl;

29     }

30     return 0;

31 }